微积分在数学中的作用

首先得来说下导数和微分。

导数与微分是微分学的两个重要概念。

数学分析的主要任务就是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，而导数与微分是解决这些问题的普遍的有效的工具。

例如：物理学中的瞬时速度和几何学中的切线斜率，二者的实际意义完全不同。但是数学结构却完全相同，都是函数的改变量Δy 与自变量的改变量Δx 之比的极限（当Δ→0时）。这就引入了导数的概念，导数概念同数学中其它概念一样，也是客观世界事物运动规律在数量关系上的抽象。

如：除上述两例外，非恒稳的电流强度，化学反应速度等等，都是导数问题。

虽然导数是研究函数性态的重要工具，但仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用，它需要建立在微分学的基本定理的基础之上，在数学中这些基本定理统称为“中值定理”。如：罗尔定理、费马定理、拉格朗日定理、柯西定理等，导数在研究函数上的应用（函数的单调性、极值与最值、凸凹性、曲线的渐近线、函数的图像。）离不开这些中值定理。

在来说下积分。一般来说在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算。例如，有加就有减，有乘就有除，有乘方就有开方，等等。

导数运算也不例外，它也有逆运算，也就是不定积分。引入不定积分是为计算定积分服务的。

最后说下定积分的应用实例。

一、利用“微元法”计算下列实际问题：

1、计算曲边梯形的面积；

2、计算物体运动的路程；

3、计算变力作的功；

二、计算平面区域的面积。

图（1）

三、计算平面区线的弧长。

四、应用截面面积求体积。

五、计算旋转体的侧面积。