动点在等腰三角形中的分类讨论（基础）

动点在等腰三角形中的分类讨论（基础）

【专题说明】

1.点的存在性问题，在中考压轴题中非常普遍.比如因动点产生的平行四边形问题、因动点产生的线段和差问题、因动点产生的全等三角形问题、因动点产生的等腰三角形。这些动点产生的几何图形问题可谓十分的普遍，难度系数究竟怎么样?又有什么规律可遵循?下面，从动点产生的等腰三角形出发，分析探究这一点的存在性问题.

2.既然是探究因动点产生的等腰三角形，那么等腰三角形的基础知识必须总结归纳，牢记于心.

(1)等腰三角形的性质:①等边对等角；②三线合一.

(2)等腰三角形的判定:等角对等边.

(3)而等腰三角形还有一点要特别注意:不确定性!①边的不确定性；②角的不确定性.

(4)当给出等腰三角形的一条边时，我们要确定这条边到底是腰还是底边，同时还要确保三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.如果边不确定，那么一定要分类讨论!

(5)当给出等腰三角形的一个角时，也要确定这个角是底角还是顶角.如果题中没有明显说明，那么一定要分类讨论!

因此，分类讨论思想是动点产生的等腰三角形问题中非常重要的思想方法!

【精典例题】

【解析】

(1)①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等.

②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度X时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；

(2)根据题意结合图形分析发现:由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长.

【点评】

此题主要是运用了路程=速度X时间的公式.熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系.

【解析】

(1)过点C作CD⊥AB，垂足为D.当PQ∥AB时即可得出四边形MNQP是矩形，根据特殊角的三角函数值求出四边形MNQP的面积；

(2)根据①当0<t≤1时；②当1﹤t﹤2时；③当2≤t<3时，分别求出四边形MNQP的面积，即四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式.

【点评】

本题涉及到动点问题，比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，借助图形在运动中产生的函数关系问题来探究几何图形的变化规律，在解答过程中往往需要运用分类讨论、数形结合思想等多种数学思想.

【解析】

1.第(2)题BP=2分两种情况.

2.解第(2)题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系.

3.第(3)题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ.

【解析】

1.把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边.

2.中点F有哪些用处呢?联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了.

【点评】

本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

方法一：

方法二：

【解析】

方法一：

(3)根据(2)的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点.

方法二：

(1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标.

(2)已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式.

(3)用参数表示点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式便可求解.

(4)列出点M的参数坐标，利用MO=MB求解.此问也可通过求出OB的垂直平分线与y轴的交点得出M点.

【点评】

此题融合了函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，综合程度较高，但属于二次函数综合题型中的常见考查形式，没有经过分类讨论而造成漏解是此类题目中易错的地方.

方法一：

方法二：

【解析】

方法一:

(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可.

(2)由图知:A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知:若连接BC，那么BC与直线I的交点即为符合条件的P点.

(3)由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论:①MA=MC、②MA=AC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解.

方法二:

(1)略.

(2)找出A点的对称点点B，根据C，P，B三点共线求出BC与对称轴的交点P.

(3)用参数表示的点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解.

(4)先求出AC的直线方程，利用斜率垂直公式求出OO'斜率及其直线方程，并求出H点坐标，进而求出O'坐标，求出DO'直线方程后再与AC的直线方程联立，求出Q点坐标.

【思路点拨】

1.第(2)题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小.

2.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.

【点评】

该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解.