为什么要学习正弦定理？正弦定理都有哪些知识呢？

今天来讲一个大家都比较熟悉的知识点，那就是我们高中乃至大学都要学习的一个内容，正弦定理。

说到该定理，想必大家应该都不陌生，那么你们知道该定理都能给我们解决哪些问题嘛？今天我们就来一起探讨一下。

我们在书上或者是口耳相传，会听到嫦娥奔月这样一个故事，但是大家不妨想一下，我们居住在地球上，如果要想计算地球到月球的距离，应该怎么解决呢？

再给大家举个例子，有一条河流，河流两岸分别有两点A和B，两点构成的线段不平行于河流两端。但是我又想计算该线段的长度，这时又该怎么办。

听到这里，想必大家应该知道我想说什么了，实际上我们这节课的正弦定理，解决的就是距离以及角度的问题，将复杂的问题通过长度以及角度进行解答。

早初中的时候，我们学习过直角三角形中角度与边的关系，知道了正弦等于对边比斜边的。就是说：sinα＝对边/斜边

如果我们按照这个思路进行探究，那么以上直角三角形的三个角度都可以表示出来。

即：sinA＝a/c，sinB＝b/c，sinC＝c/c＝1，我们将上述问题进行转化，可以得到c＝a/sinA， c＝b/sinB，c＝c/sinC（C＝90°）。所以就有以下关系成立↓

以上情况是其中之一，如果我们将直角三角形中的问题扩展到锐角三角形以及钝角三角形中去，大家思考一下，以上结论是否还成立呢？我们接着往下看↓

我们先来看一下锐角三角形的情况

当△ABC是锐角三角形时，此时作图如上所示，作AB边上的高为CD，然后根据三角形的定义，得到CD＝asinB，CD＝bsinA，所以就有以下等式，即asinB＝bsinA，从而得到a/sinA＝b/sinB

同样的方法，可以作BC边上的高为AE，此时就有bsinC＝csinB，得到b/sinB＝c/sinC，所以↓

探讨完锐角三角形的情况，我们接着来看钝角三角形是否成立↓

我们来结合向量问题，进行解决，看一下是否能得到以上结论。

如上图所示，以A（O）为坐标原点，以射线AB的方向为x轴的正半轴建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C'，此时会发现△ABC就是一个钝角三角形。

按照上述条件进行推导，那么可得向量AC与向量BC在y轴上的射影均为向量OC'的模|OC'|

因此：|OC'|＝|AC|cos（A－90°）＝bsinA

|OC'|＝|BC|sinB＝asinB

那么可得：bsinA＝asinB，即：a/sinA＝b/sinB

同理：a/sinA＝c/sinC，所以有↓

根据上述讨论，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形均满足以上等式，我们称上述等式为正弦定理。

记忆：简单理解正弦定理就是在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，就称正弦定理。

正弦定理可以做以上变式，在做题时会经常用到变式题。

注意：其次就是要明白，正弦定理是研究三角形的角度以及边的值，则角度A＋B＋C＝π(180°)并且大角要对大边，大边要对大角。

我们在运用正弦定理时，一般是已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其他的边和角。或者是已知两角和一边，求其他角和边。

通过学习，我们来看一个例题↓

例如：已知a＝16，b＝16√3，A＝30°，求三角形的边c以及角B和角C

分析：根据题目，知道了边a与b，以及角A，那么可以求出角B，然后根据角B的情况进行讨论即可。

得到B的正弦值，就可以得到角B的度数分别为60°与120°，分两种情况讨论。

从而可以求出角度以及边的值，这里要注意的就是B的讨论，其他的都不是问题。

今天的知识点就讲到这里，下节课我们再见，有不同见解的朋友，评论区留言讨论，以供大家参考。