一个含根号的无限循环，神一般的拉马努金居然心算就给出了答案！
今天我们再来见识一下，那个最接近神的男人——拉马努金，到底有多么恐怖！
我们今天讨论的问题是：
求值：√{2-√[2+√(2+…)]}=?
我在之前的文章中曾经介绍过一个类似的问题。
求值：√{6+√[6+√(6+…)]}=?
采用的方法是，首先证明此极限存在，再假设其极限为a。
设a=√{6+√[6+√(6+…)]}
易证明0＜a≤3
a^2=6+√[6+√(6+…)]=6+a
a^2-a-6=0
a=3或a=-2
0＜a≤3
a=-2＜0，舍掉
a=3，成立
√{6+√[6+√(6+…)]}=3
看上去，我们完全可以用类似的方法来求出这个式子。
设x=√{2-√[2+√(2+…)]}
=√{2-√[2+√(2+x)]}
x^2=2-√[2+√(2+x)]
2-x^2=√[2+√(2+x)]
(2-x^2)^2=2+√(2+x)
x^4-4x^2+4=2+√(2+x)
x^4-4x^2+2=√(2+x)
(x^4-4x^2+2)^2=2+x
但是，这是一个一元八次方程，我们根本无法进一步求解。
接下来我们来看看拉马努金是如何站在神的视角藐视众生的。
据传，拉马努金当时看到这个问题时，连笔都没有动一下，就给出了答案：
2sin10°
你不要惊讶为什么无限根号的结果居然是一个三角函数，你需要惊讶的是拉马努金又一次没有给出过程，只给出了正确答案。
在拉马努金眼里，解如此简单的问题是不需要过程的，只需要灵光乍现即可。至于灵光从哪里来，那当然是来自娜玛卡尔女神的指引。
就如同娜玛卡尔女神在梦中指引我写下拉马努金公式一般。
这个公式同样没有留下证明过程。
所以，我们现在唯一能做的就是验证结论的正确性。
x=2sin10°=√[4(sin10°)^2]
根据三角函数降幂公式：
1+cos(2α)=2(cosα)^2
1+cos(2α)=2[1-(sinα)^2]
1-cos(2α)=2(sinα)^2
x=2sin10°=√[4(sin10°)^2]
=√[2×2(sin10°)^2]=√2(1-cos20°)
=√(2-2cos20°)
2cos20°=√[4(cos20°)^2]
=√[2×2(cos20°)^2]=√2(1+cos40°)
=√(2+2cos40°)
2cos40°=√[4(cos40°)^2]
=√[2×2(cos40°)^2]=√2(1+cos80°)
=√(2+2cos80°)
cos80°=cos(90°-10°)=sin10°
将以上结论连列起来：
x=2sin10°=√(2-2cos20°)
=√[2-√(2+2cos40°)]
=√{2-√[2+√(2+2cos80°)]}
=√{2-√[2+√(2+2sin10°)]}
=√{2-√[2+√(2+x)]}
x=√{2-√[2+√(2+x)]}
完全符合我们一开始假设的结论。
至此，我们可以确定拉马努金给出的结论是完全正确的。
√{2-√[2+√(2+…)]}=2sin10°
其实，回顾刚才的验证过程，我们可以发现，其关键点是发现了：
10°×2=20°
20°×2=40°
40°×2=80°
90°-80°=10°
进而形成循环关系，拉马努金这种对数字超高的敏感度，不得不让人感到叹服！
