数学教会我们的可能就是这些很不起眼的背后认识事物的基本方法，从多到少，从繁到简，从变到恒的认知的提升。

基本不等式很突兀

基本不等式，在课本引入的时候，它就采用将a^2,b^2代换成a,b得到的；在实际教学中更多的是从知识理解和专题考试技能上训练，这部分是很多学生学习比较艰难的一部分，相比较前面的知识，这部分出现是比较突然的，教材前面是等式的基本性质与不等式性质，后面是二次函数与二次方程和不等式。让人感觉有些突然、突兀。很难在形成一个完整的知识体系，学生的学习也略显困难。

这部分也是高中数学作为“知识+应用→工具”的一部分学习模式出现，这里掌握起来困难，也就谈不到当做工具来用了。这里略谈下基本不等式的一些特点和简单的工具性应用。

基本不等式内涵变化

从公式a^2+b^2≥2ab这个形式做了一些代换改变得到了基本不等式，让基本不等式的内涵也有了比较大的改变；

（1）形式上与原来的相比更加简洁；

（2）这个式子更容易找到几何意义，在接下来的探索里就基本不等式的几何解释给了出来；

可以直观地看到：RT三角形斜边上的高不大于斜边上的中线；也就是“两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，由图的直观到数的运算；

（3）运算内容丰富了；如第一张课本图中的公式a^2+b^2≥2ab；这个公式和基本不等式相比，运算仅仅只有加、乘；基本不等式具有加、乘运算外还有除法和开放等运算；

基本不等式和原来的完全平方式子的对比，除了这些变化，更是将数学中图形语言、符号语言、自然语言完美地合在一起给出，非常符合数学的简、洁、明、快的四大特点；

而且在学习中，课本里也明确地在《必修一》46面给出了：

基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题有力的工具

如何学习掌握？

这个陈述明确地说明了基本不等式是一个工具性的内容；那么掌握这个工具就需要从工具的作用入手，练习和掌握。

比如有这么些类型：

（1）常数的一些变化，如：

（2）系数变化，如：

（3）结构变化：

以上三种总结起来就是变的量背后不变的是模型工具，凑出基本不等式结构就完成了解题；

（4）下面说说必须从内在关系去探讨和解决的问题，比如：以下的简单的条件最值问题

条件变化也可以得到很多的问题

（5）再看一些需要寻找和构建成基本不等式的问题

如：

再隐藏的深一些，这个结构不容易看到

求最大，我们可以先对结果去个颠倒，变成求最小，进而再减元，等量替换掉c,寻找结构，再求解；

以上小问题都是在外表纷繁变化背后，有着不变；

寻找不变是对数学中数量关系的更深刻的认识，是对基本结构的深入认识；通过数学的这些认识，达到认识世界和万物。

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