文/今日头条评论员
2025年6月21日

一把武士刀，一间小厕所，竟引出了困扰数学界百年的世纪难题。

1917年，日本数学家挂谷宗一提出了一个充满画面感的问题：一位武士在狭小的厕所里遭遇袭击，他需要挥舞短棒（长度设为1）旋转一周来抵挡四面八方的箭矢。厕所空间有限，武士该如何移动才能让短棒扫过的面积最小？

这个看似简单的几何问题，后来演变为数学界著名的“挂谷问题”。一百多年来，它从二维平面延伸到三维空间，最终在2025年由中国数学家王虹与合作者约书亚·扎尔彻底攻克三维情形，被陶哲轩誉为“几何测度论的圣杯”。

01 从武士防身到数学圣杯

挂谷宗一最初设想，最小面积区域应是一个由三尖瓣曲线围成的图形（面积约0.391）。但1928年，苏联数学家贝西科维奇给出了颠覆性的答案：线段扫过的面积可以无限小！

他构造了一种复杂的分形结构——贝西科维奇集。这个集合看似支离破碎，却能包含所有方向的单位线段，且面积可趋近于零。这一发现将挂谷问题推向了更深的数学领域。

当问题升级到三维空间时，情况发生了质变。三维挂谷猜想的核心问题是：在三维空间中，是否存在一个“稀疏”的集合，能容纳所有方向的单位线段，同时其“体积”可以无限小？

数学家们用豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数来量化这种“稀疏性”。若维数低于3，意味着集合可以被“压缩”；若等于3，则表明它必须具有完整空间的“体积感”。

02 三维空间的“体积之谜”

想象一下：你手握一支铅笔，尝试在空中旋转它使其指向所有方向，同时希望它划过的空间体积尽可能小。直观上，绕中点旋转会扫过一个球体（体积约4.19），但数学家想知道能否找到更巧妙的移动方式。

在三维空间中，方向数量从二维的360度圆周激增到球面上的无穷多点。更棘手的是，数学家可以构造出测度为零的集合——即传统体积为零的“幽灵区域”——却仍包含所有方向的线段。

例如，通过分形结构（如佩龙树），一根比东京晴空塔还长的“针”甚至能在比手掌还小的区域内完成旋转。但这类集合的分形维数是否必须等于3？这正是三维挂谷猜想的核心命题。

03 王虹的突破性证明

2025年2月，王虹与扎尔在预印本平台arXiv上发表127页论文，宣布完全证明三维挂谷猜想：任何包含所有方向单位线段的集合，其豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数必须等于3。

他们的证明融合了多领域前沿工具：

• 离散化与管子模型：将连续问题转化为细长管子的组合分析，管子宽度δ趋近于零时，其并集体积必须接近1。
• 粘性结构与非集中性：引入“粘性挂谷集”概念，证明即使管子紧密贴合，维数仍无法降低。
• 颗粒性理论：借鉴拉里·古斯的发现，将复杂管状结构简化为“颗粒”单元，通过计算重叠性质逐步推进维数下限。

从汤姆·沃尔夫1995年证明的2.5维下限出发，王虹团队逐步提升至2.500001、2.500002……最终抵达3。陶哲轩惊叹其方法“如同永动机，输出比输入更多”。

04 为何重要？数学塔尖的基石

挂谷猜想远非几何游戏。它是调和分析领域的核心支点，与傅里叶变换的精度控制直接相关。陶哲轩曾比喻：挂谷猜想是“猜想之塔”的基石，若它不成立，调和分析中三大核心猜想将全部崩塌。

在实际应用中，这一突破可能推动多个领域发展：

• 通信技术：优化5G信号压缩算法，减少信息损失，提升传输效率。
• 医学成像：提高CT扫描中傅里叶重建的精度，增强图像清晰度。
• 物理学：为波动方程和量子不确定性原理提供新的数学工具。

如今，王虹团队的证明正在接受全球数学界的严格检验。若最终确认，这位34岁的中国数学家可能成为首位获得菲尔兹奖的中国籍女性。而挂谷问题在更高维度的推广仍是未解之谜，等待新一代数学家继续探索。

从武士的生存智慧到人类对空间本质的理解，一根“旋转的针”串起了数学的百年进化，也见证了中国学者攀登科学巅峰的壮举。

（本文综合权威信源）
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