三角形的重心公式证明

重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。

三角形的重心

已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。

证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。

如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线

则AF=FB，BD=DC，CE=EA

∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

∴AD、BE、CF交于一点

即三角形的三条中线交于一点

其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。

2018屇毕业生初中数学总复习：第九讲直角三角形的边角关系

直角三角形的判定公式

在即将到来的期末考试中，关于直角三角形的判定试题一定会出现。

直角三角形的判定

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。

判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。[定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。简称为HL]

判定6：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则这两直线垂直。

判定7：在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

在考试中大家如果遇见了关于直角三角形的判定问题时，请灵活的使用上述的知识要领。

人教版八年级下册 19.2 正比例函数

正比例函数的公式应用

正比例函数是一次函数的特殊形式，在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。

正比例函数公式应用

首先通过5个问题，得出5个函数，观察这5个函数，可纳出正比例函数概念。要能判断一个函数是否为正比例函数。然后画出4个正比例函数图象，观察归纳出正比例函数的性质。

根据上面的5个实际问题，我们得到5个函数。下面观察这5个函数的共同点，以便归纳出正比例函数概念。

①h=2t;②m=7.8n;③s=0.5t;④T=t/3;⑤y=200x。

这5个函数有什么共同的特点?

1：都有自变量。

2：都是函数。

3：都有常量。

这5个函数的右边都是常量和自变量的什么形式?

这5个函数都是常量与自变量的乘积形式，都可表达为y=kx(k不等于0)的形式。

下面是4个函数，请判断哪些是正比例函数?

①y=3;②y=2x;③y=1/x;④y=x^2。

解答：

②是正比例函数。因为它符合正比例函数的的定义。①，③，④则不是正比例函数。①：它为常数函数，无自变量。③：它为反比例函数。④：它为二次函数。

我们做题时重点就是正比例函数概念及正比例函数的性质理解。

正割函数

三角函数的各个分类都是有关系的，正割与余弦互为倒数，余割与正弦互为倒数。

性质

sec在三角函数中表示正割

直角三角形斜边与某个锐角的邻边的比,叫做该锐角的正割，用sec(角)表示。

即：secθ=1/cosθ

在y=secθ中，以x的任一使secθ有意义的值与它对应的y值作为(x，y).在直角坐标系中作出的图形叫正割函数的图像，也叫正割曲线.

y=secθ的性质：

(1)定义域,θ不能取90度,270度,-90度,-270度等值;即θ≠kπ+π/2或θ≠kπ-π/2(k∈Z)

(2)值域,|secθ|≥1.即secθ≥1或secθ≤-1;

(3)y=secθ是偶函数，即sec(-θ)=secθ.图像对称于y轴;

(4)y=secθ是周期函数.周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π.

不管是公式的性质也好，还是图像的相知也罢，同学们如果不加强记忆，那就是没用的知识。

其实三角函数都一样，在直角坐标系中作出的图形叫正割函数的图像，也叫正割曲线。

正割函数

设△ABC，∠C=90°(初中是锐角三角函数)AC=b，BC=a，AB=c，正割函数：sec∠A=c/b(斜边：邻边)，y=secx。

在y=secx中，以x的任一使secx有意义的值与它对应的y值作为(x，y)。

其实总结而言就是直角三角形斜边与某个锐角的邻边的比就是该锐角的正割。

圆及有关概念公式定理

我们学习的圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线，所以是无数条对称轴。

圆及有关概念

1到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆(circle).这个定点叫做圆的圆心。

2连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径(radius)。

3通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径(diameter)。

4连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord).最长的弦是直径。

5圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc).大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧

6由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形(sector)。

7由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。

8顶点在圆心上的角叫做圆心角(centralangle)。

9顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

10圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个超越数，通常用π表示，π=3.1415926535……。在实际应用中，一般取π≈3.14。

11圆周角等于弧所对的圆心角的一半。

字母表示

圆—⊙;半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母);弧—⌒;直径—d;

扇形弧长—L;周长—C;面积—S。

圆的表示方法要求很严格，需要用到相应的知识要求。

圆的基本性质

圆的基础性质公式定理

圆是轴对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

圆的基础性质

⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理

①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式:θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)

④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

圆的知识要领不仅常考公式，又是也会直接出一些关于定理的试题。

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