求不定方程2x+3y=18的自然数的解

精讲1：求不定方程2x+3y=18的自然数的解。（0除外）

分析：所谓“自然数解”，就是要使方程的解为自然数，这道题有两个未知数，我们可以采用尝试法，假设当x=1时，y无解；当x=2时，y无解······如果我们将方程适当变形，把其中一个未知数用另一个未知数表示出来，即将方程变形为：y=（18－2x）÷3，我们就可以推断等式右边的被除数“（18－2x）”必须是3的倍数，而且它不能为0，这样就可以相对方便地找出结果。

所以x=3，y=4或x=6，y=2。

精讲2：超市有甲、乙两种手套出售，甲种手套每副16元，乙种手套每副10元，某天这两种手套的销售额一共是200元，你知道这个超市该天两种手套各卖多少副吗？

分析：这道题甲种手套和乙种手套卖出多少副都不知道，我们可以考虑分别设甲种手套卖出x副，乙种手套卖出y副，尝试用不定方程的方法来求解，仔细分析题意，不难发现这道题有一个隐含条件，即手套的副数只能是自然数。

解：设超市卖出甲种手套x副，卖出乙种手套y副，则16x+10y=200。

由于手套的副数只能是自然数，因此这个不定方程有两组解：

（1）x=5，y=12；

（2）x=10，y=4。

精讲3：某水果店运来橘子、苹果和香蕉共15箱，总价为860元。已知每箱橘子40元，每箱苹果50元，每箱香蕉70元，你知道这三种水果各运来多少箱？

分析：这道题含有3个未知数，如果分别设运来橘子x箱，运来苹果y箱，运来香蕉z箱，可以通过列出不定方程组进行解答，但这道题已经告诉我们三种水果一共运来15箱，因此只要设运来橘子x箱，运来苹果y箱，运来香蕉的箱数就可以用（15－x－y），这样就只要根据一个不定方程来求解就行了，比较简便一些。

解：设运来橘子x箱，运来苹果y箱，则运来香蕉（15－x－y）箱。

根据题意得：40x+50y+70×（15－x－y）=860

化简得：y=（19－3x）÷2

解得：

（1）x=1，y=8，15－x－y=6，即橘子1箱，苹果8箱，香蕉6箱；

（2）x=3，y=5，15－x－y=7，即橘子3箱，苹果5箱，香蕉7箱；

（3）x=5，y=2，15－x－y=8，即橘子5箱，苹果2箱，香蕉8箱。

解：设4米的钢筋有x根，7米的钢筋有y根，则4x+7y=189，

即：y=（189-4x）÷7，

解得：①x=28,y=11； ②x=21，y=15；

③x=14，y=19；④ x=7，y=23.

根据“7米的钢筋比4米多”且“两种钢筋都多于10根”得：

4米的钢筋有14根，7米的钢筋有19根。

精讲5： 一次数学竞赛准备了17支铅笔作为奖品发给了一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人9支，二等奖每人4支，三等奖每人1支，后来改为一等奖每人6支，二等奖每人3支，三等奖每人2支，求一、二、三等奖的学生各有几人？

解：设获得一、二、三等奖的学生分别有x人、y人、z人。

根据题意得：9x+4y+z=1

6x+3y+2z=17

先消去z，再解方程，

解得：x=1，y=1，z=4，

答：一等奖1人，二等奖1人，三等奖4人。

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