中考压轴题：老调新弹，平行四边形的存在性问题解题新策略

以函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．考生往往因为选择方法不得当而导致计算量偏大，或因分类情况不完整而导致漏解。各类平台期刊杂志对这类问题求解文章不少，但我这里老调新弹，旗帜鲜明在理论提出新体会型策略，期待对这类难题易于切入操作，学生易于突破。

对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据"平行四边形的一组对边平行且相等"或"平行四边形的对角线互相平分"来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，画图有两种方法，一是作平行线，二是倍长中线，特别要注意的是，无论是哪一种类型，如果没有明确四边形顶点的顺序，则需要分类讨论。处理这类问题的策略是数形结合，先形后数即先画图，再利用方程解决！

预备知识：解题切入点

类型1 两定点两动点形成的平行四边形存在性问题

策略：平行找相等线段法：可以利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这时候需要用到两点之间的距离公式（可以利用勾股定理计算），因为已知的两点所在的直线解析式可以求出，再利用平行线的k值相等，设平行于已知直线的解析式为y=kx+b，分别联立方程求出两个交点的坐标（用含有b的式子表示），再计算这两个交点之间的距离，使这个距离等于已知两点之间的距离。

例1．（2018秋•武昌区期中）如图，抛物线y＝ax*2+bx﹣3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），A（﹣1，0），B（3，0），直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法，直接求出抛物线的解析式即可；

（2）根据点C在抛物线上，求出点C的坐标；根据待定系数法求出直线AC的解析式；设点P的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为P（x，﹣x﹣1），E（x，x*2﹣2x﹣3），用含x的式子表示出PE的长度，求出PE的最大值；

（3）根据点G的不同位置，分为4种情况讨论，点G在第二象限的抛物线上，点G在抛物线与y轴的交点上（两种情况），点G在直线AC上方y轴右侧，根据平行四边形的对边平行且相等，求得点F的坐标即可．

【解答】（1）∵抛物线y＝ax*2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），

∴a-b-3=0, 9a+3b-3=0，解得：a=1,b=-2.

∴抛物线的函数解析式为：y＝x*2﹣2x﹣3；

（2）∵点C在抛物线上，且点C的横坐标为2，

∴y＝4﹣4﹣3＝﹣3，∴点C的坐标为（2，﹣3），

设直线AC的解析式为：y＝kx+b，

∴-k+b=0, 2k+b=-3，解得：k=-1,b=-1，

∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣1，

设点P的横坐标为x（﹣1≤x≤2），

则P、E的坐标分别为P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），

∵点P在点E的上方，

∵﹣1＜0，开口向下，﹣1≤x≤2，

∴当x＝1/2时，PE最大＝9/4；

（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+√7，0），F4（4﹣√7，0）．

∵A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形

①如图1，四边形AFGC是平行四边形，此时CG∥AF，

∴AF＝CG＝2，∴点F的坐标为（﹣3，0）；

②如图2，四边形AGCF是平行四边形，此时CG∥FA，

∴AF＝CG＝2，

∵点A的坐标为（﹣1，0），∴点F的坐标为（1，0）；

③如图3，四边形ACFG时平行四边形，此时AC∥GF，

此时点C，G两点的纵坐标互为相反数，

故点G的纵坐标为3，且点G在抛物线上，

∴x*2﹣2x﹣3＝3，解得：x1＝1+√7，x2＝1﹣√7（舍去），

∴点G的坐标为（1+√7，3），

∵GF∥AC，

∴设直线GF的解析式为：y＝﹣x+h，

∴﹣（1+√7）+h＝3，解得：h＝4+√7，

∴直线GH的解析式为：y＝﹣x+4+√7，

∴直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+√7，0）；

④如图4，同③可求得点F的坐标为（4﹣√7，0），

综上所述，存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+√7，0），F4（4﹣√7，0）．

【点评】本题主要考查二次函数与一次函数及平行四边形的综合应用，解决此类的关键是能灵活运用相关知识，第（3）小题中，要注意，根据点G的不同位置，分类讨论求出点F的坐标．

类型2 三定点一动点形成的平行四边形存在性问题

策略：三个平行线交点法

一般利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，利用两点的中点公式进行求解，当四边形只有1个顶点是动点时，我们可以利用已知的三点求出平行四边形的第4个顶点，然后看这个点的坐标是否符合题意；当有两个点是动点时，先设其中的一个动点的坐标为（a，b）在根据这3点的坐标求出第4点的坐标，再把这个点代入它所在直线或者抛物线的解析式中，求出a，b的值。

在解题时一般需要添设辅助线，借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径。需要注意的是，任意两点的连线可能是四边形的一条边或者对角线，我们需要分情况来讨论。

例2．（2018秋•如皋市校级月考）如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

（1）求OE和AD的长；

（2）求过O、C、D三点的抛物线的解析式；

（3）若点N在（2）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据翻折的性质，可得CE与CB的关系，DE与BD的关系，根据勾股定理，OE的长，根据线段的和差，可得答案；根据勾股定理，可得m的值，可得D点坐标；

（2）根据待定系数法，可得答案；

（3）①以EN为对角线，根据对角线互相平分，可得CM的中点与EN的中点重合，根据中点坐标公式，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；

②当EM为对角线，根据对角线互相平分，可得CN的中点与EM的中点重合，根据中点坐标公式，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；

③当CE为对角线，根据对角线互相平分，可得CE的中点与MN的中点重合，根据中点坐标公式，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

【解答】（1）∵CE＝CB＝OA＝5，CO＝AB＝4，

∴在Rt△COE中，利用勾股定理可得OE＝3，

∵OE＝3，∴AE＝5﹣3＝2，

在Rt△ADE中，设AD＝m，则DE＝BD＝4﹣m，由勾股定理，得

AD*2+AE*2＝DE*2，即m*2+2*2＝（4﹣m）*2，解得m＝3/2，

∴D（﹣3/2，﹣5），∴AD＝3/2．

综上所述，OE＝3，AD＝3/2；

（3）∵C（﹣4，0），D（﹣3/2，﹣5），O（0，0），

∴设过O、D、C三点的抛物线为y＝ax（x+4），

∴﹣5＝﹣3/2a（﹣3/2+4），解得a＝4/3，

∴抛物线解析式为y＝4/3x（x+4）＝4/3x*2+16/3x；

（3）∵抛物线的对称为直线x＝﹣2，

∴设N（﹣2，n），

又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），设M（m，y），

①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，如图1，

则线段EN的中点横坐标为[0+(-2)]/2＝﹣1，线段CM中点横坐标为[0+(-4)]/2，

∵EN，CM互相平分，∴[0+(-4)]/2＝﹣1，解得m＝2，

又M点在抛物线上，∴y＝4/3×2*2+16/3 ×2＝16, ∴M（2，16）；

②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，如图2，

则线段EM的中点，横坐标为(m+0)/2，

线段CN中点横坐标为[(-2)+(-4)]/2＝﹣3，

∵EN，CM互相平分，∴m/2＝﹣3，解得m＝﹣6，

又∵M点在抛物线上，

∴y＝4/3×（﹣6）*2+16/3 ×（﹣6）＝16，∴M（﹣6，16）；

③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，如图3，

m﹣0＝﹣4﹣（﹣2），解得m＝﹣3，

当m＝﹣2时，y＝4/3×（﹣2）*2+16/3×（﹣2）＝﹣16/3，

即M（﹣2，﹣16/3）．

综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣16/3）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，利用翻折的性质得出CE的长是解题关键；利用勾股定理得出D点坐标是解题关键；利用平行四边形的对角线互相平分得出m的值是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．

变式练习1．（2018秋•红桥区期中）抛物线y＝ax2+bx+5的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B（点E在点B的左侧），点P为拋物线上一点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，当点P在AC上方时，作PD平行于y轴交AB于点D，求使四边形APCD的面积最大时点P的坐标；

（3）设N为x轴上一点，当以A、E、N、P为顶点，AE为一边的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

2．（2018春•文登区期末）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（2，4），反比例函数y＝m/x的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，顺次连接O，D，E．

（1）求反比例函数y＝m/x的表达式；

（2）y轴上是否存在点M，使得△MBO的面积等于△ODE的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y＝m/x图象上一点，是否存在点P，点Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式练习1答案及提示】

y＝﹣x2+4x+5；使四边形APCD的面积最大时点P的坐标为（5/2，35/4）;

点P的坐标（4，5）或（2+√14，﹣5）或（2﹣√14，﹣5）．

（1）根据顶点式设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；

（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD＝﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；

（3）分三种情况：

①当P在x轴上方时，以AE为边时，根据P的纵坐标为5列方程可得P的坐标；

②当P在x轴的下方时，以AE为边，同理可得P的纵坐标为﹣5，列方程可得P的坐标；

③以AE为对角线时，同理可知：P（4，5）．

【变式练习2答案及提示】

反比例函数为y＝4/x；M（0，3）或（0，﹣3）； Q（﹣2，﹣2）或（2/3，6）．

（1）根据矩形的性质以及点B为（2，4），求得D的坐标，即可得出反比例函数解析式；

（2）依据D、E的坐标联立方程，应用待定系数法即可求得直线DE的解析式，再根据三角形面积公式即可求解；

（3）分当DE是平行四边形的边及对角线时讨论,根据题意列出方程，解方程即可求得Q的纵坐标．

总结：这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）．这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想。学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，导致漏解。

巧用对角线探究平行四边形的适度拓展：在一些问题中，还常常会要求学生讨论菱形、矩形的存在性。此时我们可在上述基础上增加相应条件，如增加两条对角线互相垂直、邻边相等得到菱形，增加邻边互相垂直、对角线相等得到矩形，利用点坐标求得相应线段的长度从而求解。事实上利用坐标求解的思路还适用于等腰三角形、直角三角形、圆的存在性问题。有时，我们甚至还可以通过构造平面直角坐标系来求解。