"圆"来如此，体味中国古代圆的探究

每个中国人心中都有一个"圆"，在中国，"圆"无处不在，早已成为传统文化的一种象征。也许我们已经习以为常，也许有些已经淡忘，但是要找寻" 圆 "。

（一）来自东方美学，天圆地方

圆是中华文明的精神原型，古人通过观察天地，通过圆了解人和自然，衍生了东方文化，使其成为东方美学必不可少的因素，天圆地方，是古人的世界观，来自于阴阳学说源于先天八卦的演化中，所推演出的天地运行图.

天圆地方的宇宙图式具有一种极具意味的形式美和意境美，这种观念贯穿于东方文化之中，在许多建筑中能有体现。，如北京的天坛，还有我们熟知传统造型月拱门，除了建筑形式展现外，还代表了东方文化中心思想圆，有圆满之意，确切符合了中国人内心深处的向往，天圆地方根本不是科学，那是古人的哲学。

南怀瑾先生曾经说：中国人以前都讲天圆地方，而被指为不科学，其实中国人科学得很，只是把"天圆地方"的意思解释错了。从字面上去直解，说：古人认为天是圆的地是方的。还有些所谓的"大家和专家"也这样认为，真是侮辱了我们祖先的智慧。

天圆地方之说来自于《易经》，《易经》又是古人从大自然研究后得到结论所编写，里面是古人对天地自然的理解，由此可以扩展到地球到人类社会的运行规律。

古人发现，每当天地间能量发生变化时，就会逐渐表现在人们可以看到的相对宏观的世界，比如当春天从东方七宿中传来的"木"属性的能量到来时，大地就会解冻，种子开始发芽，一切生命都被这种能量唤醒，进入新一轮的"春生，夏长，秋收，冬藏"。

由此，古人把这种微观能量的变化规律总结为"五运六气学说"，用来测量天地间能量变化和时间的关系，以及这种变化对地球上生命的影响。这就是古人讲的"天时"，所谓天时者，就是从天而降的能量到来时，就是相应季节的开始。

由于这种能量60年一轮回，周而复始，如环无端，因此古人讲"天圆"，用来描述时间的特点。同时古人讲方位时，用"四面八方"来描述，也叫"地方"。

"天圆地方"用现在理论来解释，圆图代表的是时间，方图代表的是空间，也就是讲宇宙也！也就是讲宇宙的真实面目！体现了老祖宗智慧的时空观念，这其中还隐含一个中国汉族传统文化的精华理论：万事万物都是从无到有，而且和天地间的能量变化有着密切的关系，所以古人讲"天人合一"。圆为天道，亦为人道 ，"圆"的审美和哲学意味 ，不仅带来赏心悦目的圆润之美，也渗透到了中国人的思想中--圆融处世。

（二）墨子，民出身的哲学家

墨子其实真是中国历史上的大人物，他创立的墨家学说在先秦时期影响很大，与儒家并称"显学"，在当时百家争鸣之时，有"非儒即墨"之称。从战国到汉初，墨子也常常被世人与孔子一起并称为"孔墨"。

集墨家思想之大成的《墨子》是一部内容博大的巨作，在中国古代哲学史上产生过重大影响。《墨子》一书是墨子弟子及其后学根据墨子言论整理而成，其内容广博，在政治、军事、哲学、伦理、逻辑、科技等诸多方面均有着极高的成就。

《墨子》书中还有大量几何学的知识，关于"倍"的定义。墨子说："倍，为二也。"(《墨经上》)亦即原数加一次，或原数乘以二称为"倍"。墨子说："同长，以正相尽也。"这与欧几里得几何学定理"平行线间的公垂线相等"意思相同。墨子说："中，同长也。"这里的"中"指物体的对称中心，也就是物体的中心为与物体表面距离都相等的点。

《墨子·经上》 ："圜，一中同长也. 这是我国最早的几何学定义。翻译成大白话就是：每个圆只有一个中心点即圆心，从圆心到圆周作线段，长度都相等。墨子指出圆可用圆规画出，也可用圆规进行检验。圆规在墨子之前早已得到广泛地应用，但给予圆以精确的定义，则是墨子的贡献。墨子关于圆的定义与欧几里得几何学中圆的定义完全一致。墨子说，四个角都为直角，四条边长度相等的四边形即为正方形，正方形可用直角曲尺"矩"来画图和检验。

（三）勾股容圆, 中国古代重要科技发明创造

勾股容圆是通过勾股形和圆的各种相切关系求圆直径的问题，这是中国数学史上的一个重要问题。西汉的《九章算术》勾股章有已知勾股形的勾、股求其内切圆直径的问题，开创了勾股容圆的研究，其给出的公式是"三位（即勾、股、弦）并之为法，以勾乘股，倍之为实，实如法得径一步。"此即圆径d=2aba+b+c。刘徽用出入相补原理和率的理论（借助衰分术）两种方法证明了这个公式。

我们试在纸上画一个圆，将这个圆沿直径分成两个半圆，然后：分别将两个半圆像切西瓜一样割成八块，让它们像切好的八块西瓜一样，一个挨一个放在桌子上，或者，想象它们是一把只有八个齿的梳子，现在我们有两把这样的梳子，再将这两只梳子齿对齿地插在一起，于是就凑成了一个近似的长方形，它的短边正好是这个圆的半径，它的长边不是一条直线，而是由六段弧线构成的。让我们再作进一步假设，假设：我们当初不是将半圆分成八份，而是分成了六十份，甚至三百六十份，那么，这条长边就会变成一段近似的直线，这条近似的直线非常接近半个圆周的长度。

两千多年前人们计算圆面积的方法就是这样“化圆为方”，将圆周长的一半与圆的半径相乘，正如《九章算术》方田章中所指出的一样：“圆田……术曰：半周半径相乘得积步。”

圆面积的计算方法太简单了，简单到就像一层窗户纸，一捅就破。但是，几千年以前的数学家们，不知道花了多大的工夫，经历了多少不眠不休的思考，才终于捅破了这层窗户纸。

应该指出宋金时期，洞渊在此基础上研究了同一个圆和各种勾股形的相切关系，给出了由勾股形的三边求圆径的9个公式，称为"洞渊九容"。洞渊是道教的派别，通"九数"，活跃于唐宋。

尤其金朝数学家李冶的《测圆海镜》，由洞渊九容演绎成《测圆海镜》（1248年），通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系统的天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子，并在卷一之首绘出"圆城图式"。

例如《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的"勾股容圆"名题，其歌词为：十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．当中提出的数学问题是这样的：已知直角三角形的两直角边边长分别为15步，8步，试求其内切圆的直径．现在我们利用直角三角形的内切圆有关性质我们计算出内切圆的直径＝6．

（四） 《周髀算经》之圆知识

《周髀算经》，原名《周髀》，是算经的十书之一．中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，分为上下两卷。它在唐代被收入《算经十书》当中，并为《十经》之首。约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法，其在数学上的主要成就是介绍了勾股定理。

当时的中国正处于商末周初。在这个战争频发，思想落后，奴隶遍地的时代，有两位智者的谈话震铄古今，该书中记载：周公与商高对话中，商高提出"环矩以为圆"．《中国数学史大系》第一卷中对此解释为：把矩的长短两只当作"规"的两只脚，直立于平面上，以矩的一端为枢，旋转时，另一端即可成圆．如图①.

而中国近代著名数学家李俨注解："直角三角形固定弦，其直角顶点的轨迹便是圆"，如图②，数学家梁宗臣的看法与李俨相同，并在其《世界数学史简编》注明．从上面的注释我们不难得到：圆的定义，平面上到定点的距离为定值的所有的点的集合即为圆，直径所对的圆周角为直角。

我们的人生就像是一个画圆的过程，圆心就像我们的梦想或者目标，只有我们有了明确的目标，我们才会有生活的动力和方向。半径就像我们每个人的天赋各有秉异，因此，所带来的影响力各不相同，我们只要尽力画好自己的圆，这个世界将会有序而不失魅力！

（五） 圆周率π

秦汉以前，人们"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"。后来发现"古率"误差太大，圆周率应"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一。直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法—"割圆术"，就是不断增加圆内接正多边形的边数，让这个多边形的边长不断地逼近圆周的方法。

刘徽在《九章算术注》中写道：“假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。”画一个直径二尺的圆，在圆中作一个内接正六边形，正六边形的周长和圆的直径比例为三比一。正六边形的边长恰好与圆的半径相等，利用这一条件，依勾股定理，可以求得这个等边三角形的高。一切从这里开始，按同样步骤重复下去，圆内接正多边形的边长会不断接近圆的周长，求得的圆周率也就会越来越精确。

刘徽计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确.

祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间.并得出了π分数形式的近似值，取22/7为约率，取355/113为密率，其中355/113取六位小数是3.141592，它是分子分母在16604以内最接近π值的分数。祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查.若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接12288边形，这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊!由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的。

（五） 《九章算术》之方田，提供了平面几何图形面积的计算方法

《九章算术》，一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，是勤劳勇敢的中华民族的智慧结晶，是中华文化和中华文明传承的经典之作，尊为古代数学群经之首。

《九章算术》与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉，是中国古代《算经十书》中最重要的一种，它系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，标志着以算筹为基础的中国古代数学体系的正式形成．全书分为9章，卷一"方田"中，详细记述了扇形、弓形、环形的面积计算方法．

方田"篇中所记：宛田面积术曰：以径乘周，四而一．其中，宛田：扇形的田地；径：扇形的直径；周：扇形的弧长；意思是：扇形的面积＝直径×弧长÷4.今天我们用所学公式可以证明古人方法是正确的。

此外"方田"篇中还记载：弧田面积术曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一．即给出了计算弧田面积的经验公式：(弦×矢＋矢×矢)÷2.弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中"弦"指圆弧所对弦长，"矢"等于半径长与圆心到弦的距离之差(弓形的高)．

按照上述经验公式计算所得的弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为120°，弦长等于9米的弧田．我们可以计算出弧田的实际面积(9π－27√3/4)平方米．与按照材料中的经验公式计算所得结果与现在方法中计算的弧田面积相差1.50平方米．

割补求面积在该书中多次运用，体现的数学思想跟现在的化归思想很类似，也就是化未知为已知。

中科院院士吴文俊先生说过：最早的几何学、最早的方程组、最古老的矩阵等等，翻开历史，中国曾经是一个数学的国度，中国数学在世界上的位置远比今天靠前。祖冲之、刘徽、《九章算术》、《周髀算经》、《四元玉鉴》等一批大家和著作，使中国数学曾经处于世界巅峰。正是由于这些辉煌，中国数学，不仅要振兴，更要复兴！这里只是想告诉读者，从风格上讲，中国古代数学具有鲜明的算法特色，这是中国古代数学的精髓所在。