不等式与不等式组

不等式的相关概念

数学世界中有等式和不等式之分，等式是我们数学从小学就开始学习了的，大家想必都很熟悉了吧，就是用符号“=”连接的式子，

例如：30=6x5，7X=14。

那不等式呢？他用什么符号表示呢？用符号“<”、“>”表示大小关系的式子，或者用“≠”表示不等关系的式子就称为不等式，

例如6<7,5X>7,7X≠6。等式和不等式一样，可以不含未知数，也可以含有未知数。

我们知道，等式中，含有未知数的等式叫做方程，能使方程左右两边相等的未知数的解叫做方程的解。那么在不等式中，我们把能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。能使不等式成立的未知数的值不止一个，比如5X>7中，X=1,X=2,X=3都是该不等式的解，这么多不等式的解怎么办才好呢？我们在这里用到了解集，例如5X>7中，不等式的解集就是X>7/5。

一般的，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。

不等式的性质

不等式有三个性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（1）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

我们要怎么来理解这三句话呢？我们可以拿一个简单的例子来解释

例如4>2中：

（1）不等式两边加上2，不等式为6>4，不等号的方向不变。

不等式两边减去2，不等式为2>0，不等号的方向不变。

（2）不等式两边乘以2，不等式为8>4，不等号的方向不变。

不等式两边除以2，不等式为2>1，不等号的方向不变。

（3）不等式两边乘以-2，这时不等式为-8<-4，不等号的方向改变。

不等式两边除以-2，不等式为-2<-1，不等号的方向不变。

通过这个例子大家能掌握这三个性质了吗？

如果学会了，那就来几个题目练习一下，如果还没学会，那也拿几个题目再研究一下

已知a>b，那么试用“<”、“>”号填空：

（1） a+5___b+5; （2） 5a___5b；

（3） a-5___b-5； （4）-a/5___-b/5.

（思路点拨：（1）和（3）用性质1解题，（2）用性质2解题，（4）用性质4解题）

一元一次不等式

在含有未知数的不等式中，我们把只含有一个未知数，并且未知数的次数都为1的不等式叫做一元一次不等式。例如5X>10,X-5>6是一元一次不等式，X-Y>6,X^2+10>5就不是一元一次不等式，前者有两个未知数，后者未知数的次数是2.

来试试判断下列式子是不是一元一次不等式，为什么？

(1) 3Y=10; （2）4X+3Y>10;

（3）5X^2+3>5;（4）5X+10>5.

（思路点拔:(1)不是，因为是等号；(2)不是，因为有两个未知数；(3)不是，因为未知数的次数是2；只有(4)是）

求一元一次不等式的步骤为：

（1）去分母

（2）去括号

（3）移项

（4）合并同类项

（5）系数化为一

（大家可以发现，这步骤在很多地方都见过，

大家一定要牢记，这是方程类和不等式类的通用步骤）

例如：(3X+5)/3+3>2X

解：去分母得(3X+5)+3x3>2Xx3

去括号得3X+5+9>6X

移项得3X-6X>-9-5

合并同类项得-3X>-14

系数化为一得X<14/3

练一练：

1、8X+7>5(X+3)

2、 (3X-4)/5+6>2X

3、5x-5<2x-3.

一元一次不等式组

把含相同未知数的两个一元一次不等式合起来，叫做一元一次不等式组， 把这两个一元一次不等式分别求解，把两个解取公共部分，就是一元一次不等式组的解。(这里为了防止做错，刚开始做题时可以借助数轴来做题，熟练后可省略。)

例如：

试做下列三题，并将其在数轴上表示出来：

练一练

1、张三现有存款800元，李四现有存款2000元。由本月开始张三每月存款350元，李四每月存款260元，到底几个月时，张三的存款将超过李四？

2、爆破施工时,导火索燃烧的速度是0.8cm/s,人跑开的速度是5m/s,为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区,导火索至少需要多长?

3、一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程,第一天完成了60土方,现在要比原计划至少提前两天完成,则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土?

4、已知张三比李四大3岁,又知张三和李四年龄之和大于30且小于33,求张三的年龄.

5、张三计划在15天里加工408个零件,最初三天中每天加工24个,问以后每天至少要加工多少个零件,才能在规定的时间内超额完成任务?

6、超市销售甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．

（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润售价进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．

7、某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住。

（1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷

（2）学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有哪几种方案？