第四章 树和二叉树
第四章 树和二叉树
4.1 树
树状图是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
每个结点有零个或多个子结点；
没有父结点的结点称为根结点；
每一个非根结点有且只有一个父结点；
除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树。
树的结构如图所示：
由树的定义可以看出，树的定义使用了递归的方式。递归在树的学习过程中起着重要作用，如果对于递归不是十分了解，建议先看看递归算法。
4.1.1 结点的度
结点拥有的子树数目称为结点的度。 下图中标注了树的各个结点的度：
4.1.2 结点关系
结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。 4.1.1小节树状图中，A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。 同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。 4.1.1小节树状图中，结点B与结点C互为兄弟结点。
4.1.3 结点层次
从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。 下图展示了树的层次关系：
4.1.4 树的深度
树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。4.1.3 小节所示树的深度为4。
4.2 二叉树
4.2.1 二叉树的定义
二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。
二叉树结构如图所示：
4.2.2 二叉树特点
由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点： 1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。 2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。 3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。
4.2.3 二叉树的性质
1）在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。（i>=1） 2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1） 3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。 4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。 5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点; (2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点； (3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
特殊的树
1、斜树
斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
左斜树：
右斜树：
2、满二叉树
满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。 满二叉树的特点有： 1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。 2）非叶子结点的度一定是2。 3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
满二叉树树状图：
3、完全二叉树
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。
完全二叉树树状图：
特点： 1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。 2）最下层的叶子结点集中在树的左部。 3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。 4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。 5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。 注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。
4.2.4 二叉树的存储结构
顺序存储
二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。
上图所示的一棵完全二叉树采用顺序存储方式，如下图表所示：
由以上可以看出，当二叉树为完全二叉树时，结点数刚好填满数组。 那么当二叉树不为完全二叉树时，采用顺序存储形式如何呢？例如：下图描述的二叉树：
其中浅色结点表示结点不存在。那么上图所示的二叉树的顺序存储结构如以下图表所示：
其中，∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现，顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况。由此可以推测极端情况，采用顺序存储的方式是十分浪费空间的。因此，顺序存储一般适用于完全二叉树。
链式存储
既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求，那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。结构如图所示：
结点代码表示：
typedef struct BiTNode{
TElemType data;//数据
struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;4.3 二叉树遍历
4.3.1 定义
二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。 二叉树的访问次序可以分为四种：
前序遍历 中序遍历 后序遍历 层序遍历
4.3.2 前序遍历
前序遍历通俗的说就是首先访问根，再先序遍历左子树，最后先序遍历右子树
如图所示树状结构：
从根结点出发，则第一次到达结点A，故输出A; 继续向左访问，第一次访问结点B，故输出B； 按照同样规则，输出D，输出H； 当到达叶子结点H，返回到D，此时已经是第二次到达D，故不在输出D，进而向D右子树访问，D右子树不为空，则访问至I，第一次到达I，则输出I； I为叶子结点，则返回到D，D左右子树已经访问完毕，则返回到B，进而到B右子树，第一次到达E，故输出E； 向E左子树，故输出J； 按照同样的访问规则，继续输出C、F、G；
二叉树的前序遍历输出为：
ABDHIEJCFG4.3.3 中序遍历
中序遍历就是首先中序遍历左子树，再访问根，最后中序遍历右子树。
4.3.2小节所示二叉树中序访问如下：
从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H； 到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H； H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D； 由D返回至B，第二次到达B，故输出B； 按照同样规则继续访问，输出J、E、A、F、C、G；
二叉树的中序遍历输出为：
HDIBJEAFCG4.3.4 后序遍历
后序遍历就是首先后序遍历左子树，再后序遍历右子树，最后访问根。
4.3.2小节所示二叉树后序访问如下：
从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H； 到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，不输出H； H右子树为空，则返回至H，此时第三次到达H，故输出H； 由H返回至D，第二次到达D，不输出D； 继续访问至I，I左右子树均为空，故第三次访问I时，输出I； 返回至D，此时第三次到达D，故输出D； 按照同样规则继续访问，输出J、E、B、F、G、C，A；
二叉树的后序遍历输出为：
HIDJEBFGCA【4.3.2小节二叉树完整程序实现】
eg:
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef char Elementtype; // 定义数据类型，可根据需要自行定制
typedef struct TreeNode * Node; // Node相当于struct treeNode *
//定义树节点结构
typedef struct TreeNode {
Elementtype Element;
Node left; // 树节点的左子节点
Node right; // 树节点的右子节点
}TREE,*BITREE;
// 函数声明
void CreatTree(BITREE *); // 树的先序创建函数
void PreOrderTree(BITREE ); // 树的前序遍历函数
void InOrderTree(BITREE ); // 树的中序遍历
void PostOrderTree(BITREE ); // 树的后序遍历
// 主函数
int main() {
BITREE Root;
printf("请先序输入二叉树的节点数据： ");
CreatTree(&Root);
printf("\n前序遍历结果为：");
PreOrderTree(Root);
printf("\n中序遍历结果为：");
InOrderTree(Root);
printf("\n后序遍历结果为：");
PostOrderTree(Root);
return 0;
}
// 定义树先序创建函数
void CreatTree(BITREE *Root) {
char val = 0; // 用于下面存放数据
val=getchar(); // 输入数据值
// 如果输入'*'，则指向为空
if (val == '*')
(*Root) = NULL;
// 如果输入非'*'，则给数据域赋值
else {
(*Root) = (BITREE)malloc(sizeof(TREE)); // 申请内存空间
if ((*Root) == NULL) {
printf("创建节点失败，无法分配可用内存...");
exit(-1);
}
else {
(*Root)->Element = val; // 给节点数据域赋值
CreatTree(&(*Root)->left);
CreatTree(&(*Root)->right);
}
}
}
// 树的前序遍历函数定义
void PreOrderTree(BITREE Root) {
if (Root == NULL)
return;
else {
putchar(Root->Element);
PreOrderTree(Root->left);
PreOrderTree(Root->right);
}
}
// 树的中序遍历函数定义
void InOrderTree(BITREE Root) {
if (Root == NULL)
return;
else {
InOrderTree(Root->left);
putchar(Root->Element);
InOrderTree(Root->right);
}
}
// 树的后序遍历函数定义
void PostOrderTree(BITREE Root) {
if (Root==NULL)
return ;
else{
PostOrderTree(Root->left);
PostOrderTree(Root->right);
putchar( Root->Element);
}
}
/*输入*/
ABDH**I**EJ***CF**G**
/*输出*/
/*
前序遍历结果为：ABDHIEJCFG
中序遍历结果为：HDIBJEAFCG
后序遍历结果为：HIDJEBFGCA
*/
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