一种基于QR分解的观测矩阵优化方法

压缩感知理论(Compressed Sensing，CS)是一种有别于传统Shannon-Nyquist采样定理的信号欠采样理论。该理论指出，对于稀疏或可压缩信号，可以通过线性投影的方式将大部分信号的信息投射在低维空间，然后利用非线性解码的算法将信号恢复到原始状态。

CS方法被广泛应用于无线通信、模式识别和雷达成像等领域。的设计是CS方法的关键研究内容之一，构造性能良好的观测矩阵对于信号的压缩观测以及重构都起到了至关重要的作用^[1]。现有的文献对观测矩阵的约束条件展开了一系列的探究，文献[2]中阐述了限制性等距原则(Restricted Isometry Property，RIP)；文献[3]提出利用零空间性质作为观测矩阵的约束条件，但由于观测矩阵是否具备约束条件难以准确判断，往往需要涉及组合复杂度的相关问题，因此该方法的实际应用具有一定难度。

文献[4]中为有效测量观测矩阵性能，将矩阵和稀疏基间的互相关性当做衡量标准，相关性越低，信号适应的稀疏度范围越大，精确重建信号所需观测值的数目越少；文献[5]主要以Gram矩阵为基础伪逆求解观测矩阵，该研究采用了阈值函数，其中的收缩因子能够根据需要进行调节，但是这种方法比较耗时，在收缩过程中可能会产生绝对值较大的相关系数；文献[6]中ABOLGHASEMI V首次提出利用梯度下降法使得Gram矩阵逼近单位阵，但是该算法收敛速度较慢并且可能陷入局部最优；文献[7]提出使用矩阵特征值分解对观测矩阵进行优化，将特征值分解后的Gram矩阵的特征值取平均值，然后间接优化Gram矩阵的非对角线元素，该方法在一定程度上能够降低矩阵的整体互相干性，但是在使用某些恢复算法(如SP算法)的情况下，可能无法重建原始信号，在适用范围上有一定的局限性。

文献[8]的研究表明，重构算法要想准确地实现恢复信号的目的，必须满足的条件是使观测矩阵列向量具备一定的线性独立性，而且越强的独立性能够保证重建信号具有越高的质量。

通过梳理相关研究理论，本研究借助于QR分解的方式提高观测矩阵列向量的独立性，并将QR分解与自适应梯度下降观测矩阵优化算法相结合，提出了一种Gram矩阵优化算法，并在实验上对该方法的可行性进行验证。

作者信息:

周琦宾1，吴 静1，2，余 波1

(1.西南科技大学 信息工程学院，四川 绵阳621000；

2.西南科技大学 特殊环境机器人技术四川省重点实验室，四川 绵阳621000)