一道高中解析几何题-求圆上的点坐标

一道高中解析几何题-求圆上的点坐标

图中圆的中心为C(6; 8), 该圆的半径为10，该圆过原点O（0,0），该圆的方程为：

(a)确定圆与x轴相交点P的坐标。

(b)确定点Q在圆上的坐标，也就是圆上所有点的y坐标的最大值。

(c)确定点R在圆上的坐标，使∠PQR = 90°

(d)确定两个不同点S和T在圆上的坐标，使得∠PQS=∠PQT=45°

解：（a）P点的坐标因为y=0, 带入圆的方程解得：

其中一个点x=0, 这是原点， 而x=12就是另个一个点就是点P(12, 0)。

（b）点Q由于处于圆的最高处才有圆的y坐标最大值，由于圆的对称性，所以点Q在OP的中垂线线上，此时x=(0+12)/2=6, 带入圆的方程：

所以y=18, (另一个y=-2是最低点舍去)

所以Q（6, 18）为圆C最大的y坐标点。

注：也可以利用点Q在垂直x轴的直径上，那么它的横坐标和圆心C的x 坐标相同，而纵坐标为圆心的纵坐标加上半径求得，因此x=6, y=8+10=18

（c）

如要∠PQR=90°， 显然PR是直径，由于C是中点，若R（a, b）为其点坐标，

则有：

（a+12）/2=6, a=0,

(b+0)/2=8, b=16

所以Q（0， 16）

（d）首先分析使得∠PQS=∠PQT=45°两个点S和T的位置，因为垂直的两个直径可以把圆周分成四个90度的圆心角，所以对应的圆周角就是45度，所以做直径PR的垂直直径交于圆S和T两点，即为所要找的点。

直线PR的斜率为：

那么垂直于它的直线ST的斜率为3/4,

直线ST的方程为：

即：

将与圆的方程联立：

解得x=14, 或x=-2, 带入y, 则分别得出y=14 或y=2

因此所求两点为S（14， 14）， T（-2， 2）