线性代数：行列式的本质是什么（下）

今天的内容很简单——如何求各类行列式的值。笔者在教会大家如何计算中高阶行列式的同时，捎带引出余子式以及代数余子式的概念，让我们在具体中领略这些东西吧。

话不多说，让我们开门见山。

我们随便写个行列式来求值：

很多人算这种行列式都是靠这个所谓的对角法则：

属实麻烦，我来分享另一种用余子式求的办法：

首先，跟着我这样画：

这样画出来

然后把1取出来，前面乘个负1的因子，再把二阶行列式带上一起乘。

我先把对应关系给你摆过来：比如1就对应a11，5就对应a22：

我说道：“1”就是所谓的“元素”，元素只是个名称。

对应“1”的余子式就是我们从剩下的数里抠出来的行列式：

1元素对应的余子式

余子式M11乘个（-1）^(1+1)就是代数余子式A11，

大家先不需要知道它是怎么来的，等会儿自然就感觉出来了。

我们继续画：

然后把2取出来，前面还是乘个负1的因子，再把相对应的二阶行列式带上一起乘:

对应“2”的余子式还是我们从剩下的数里抠出来的行列式：

同样（-1）^(1+2)再乘这个矩阵就是代数余子式,我们发现它在-1的作用下成正数了：

代数余子式的符号变了

最后我们再看3位置：

我们把3取出来，前面还是乘个负1的因子，再把相对应的二阶行列式带上一起乘：

我就不废话了，相信大家已经明白了：

最后我们把三者加起来，就是答案：

你现在大概能感觉出来了我是怎么求的了吧？

实际上用第二行也可以：

还可以用列来求，原理还是上面那个原理，把该数字所在的列和行划掉扣出余子式：

总之，，上面随便一个方法都可以求出行列式的值。

我们还得知了：

这种办法可以算出各种阶数的行列式的值，大家照猫画虎地找几个行列式练练手，自然就学会了。

现在我给出余子式和代数余子式的数学定义：

把n阶行列式的第i行和第j列划去所得到的n-1阶行列式称为（i，j）位元素aij的余子式，记作Mij,称 Aij=（-1）^(i+j)Mij 为 aij的代数余子式。

对某一行或列展开的行列式的值等于该行或该列的各元素与其代数余子式的乘积之和。

如果我上来就给大家讲这个概念的话，大家肯定会不知所以然。现在大家只要挨字挨句地读一遍，一下就明白了。（滑稽地说，我还真不知道大家愿不愿意看这个定义，反正我是懒得看它）

最后，我举个四阶行列式的例子完成今天的内容：

我随便编了一个四阶方阵

这里啰嗦一句，上面这个四阶行列式的意义是描述数学意义上四维斜空间的面积比率，注意，这个四维空间只有数学意义，是线性的，是在欧几里得公理体系里定义的；不要和非欧几何性质的四维时空混为一谈！

假想的四维空间（理论，纯数学）

真实的四维时空（非线性，物理）

用我们刚才学的东西，大家就能轻易知道：

即：

这里我就不带大家算结果了。数学虽然是美妙的，但数学计算过程是枯燥无味的，计算实际上只是在进行一堆数字的操作而已。

数学有时候挺无聊的，需要枯燥的操作过程才能得到优美的结果。————笔者