一、题目

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，以BC为斜边在BC右侧作RT△BCD，∠BDC=90°，连接AD.若AB=5√2，CD=8，则AD=________.

二、分析

易求得AC=5√2，BC=10，BD=6，即四边形的四条边和一条对角线都已知，求另一条对角线的长.

如果你听说过“托勒密定理”，这道题可以秒解；如果你只知道四点共圆，这道题就稍微复杂些；如果你两个都不知道，那就比较麻烦了，但同样可解。下面就分别用这三种方法来解这道题。

三、解答

托勒密定理和四点共圆都是课外知识，很多同学并不知道，所以咱们先从最普遍的方法，用课本上的知识来求解。

1、课本方法：求线段长，勾股或相似

如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F.

CD=10，CE=BE=AE=5

在RT△BCD中，由等面积法可得 DF=24/5

在RT△BDF中，由勾股定理可得BF=18/5

∴EF=BE-BF=7/5

设AB、CD相交于点O

由两角相等易证△AOE∽△DOF

OE/OF=AE/DF=25/24

∴OE=25/49EF=5/7，OF=24/49EF=24/35

在RT△AOE中，由勾股定理可得 OA=25√2/7

同理可得 OD=24√2/7

∴AD=OA+OD=7√2

2、利用四点共圆

∵∠BAC+∠BDC=180°

∴A、B、C、D四点共圆（对角互补，四点共圆）

∴∠ADC=∠ABC=45°

遇45°，构造等腰直角三角形.

过点C作CM⊥AD于点M.

在RT△CDM中，∠CDM=45°

CM=DM=8/√2=4√2

在RT△ACM中，由勾股定理可得

AM=3√2（利用勾股数）

∴AD=AM+DM=7√2

3、利用托勒密定理

先简要叙述下托勒密定理

托勒密定理：圆内接四边形对角线的乘积等于两组对边的乘积之和

对于本题，则有AD·BC=AB·CD+AC·BD

即10AD=6×5√2+8×5√2=70√2

∴AD=7√2

四、小结

1、求线段长，勾股或相似；

2、对角互补，四点共圆；

3、遇45°，构造等腰直角三角形；

4、托勒密定理

另外，由方法二还可以得到一个结论：已知两边和一角，则任意三角形都可解.

（边边角图形未确定时要分两种情况）