五联骨牌的组合密铺性质研究
作者 | 王东风 杨凡(写于2021年11月16日)
来源 | 小谜题大世界,本文获作者授权发布,作为数学文化征文活动的参考文献供读者参阅。
引理1:在伤脑筋12块中,除U形外,任意n种五连方的组合(2≤n≤12,下同),都能周期性密铺平面。
(周期性密铺,是指朝一个方向平移之后能够与原图重合的密铺方式。否则为非周期性密铺。)
证明:如下图,每种五联骨牌都能单独拼成“1-2”锯齿形,并且向两个方向无限延伸。因此,不管有几种五联骨牌,只需依次拼在一起即可,然后整体再不断重复。
引理2:在伤脑筋12块中,任意一种含有U形及“F、L、N、P、T、W、Y、Z”之一的五连方组合可以周期性密铺平面。
证明:不妨设组合中含有F。先将U形和F形拼成“1-2”锯齿形(抱歉,这里漏了一幅图,请见下期修订版),其余形状根据引理1单独拼成“1-2”锯齿形,之后依次拼在一起,然后整体再不断重复。
引理3:在伤脑筋12块中,U形与“I、V、X”中任意几种骨牌的组合可以周期性密铺平面。
证明:如下图,全部的7种组合都能周期性密铺平面。
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综合图1及引理1-3,得到引理4:
引理4
在伤脑筋12块中,任意n种五连方的组合(1≤n≤12),都能周期性密铺平面。
引理5
在伤脑筋12块中,任意n种五连方的组合(2≤n≤12),都能非周期性密铺平面。
引理6
在伤脑筋12块中,任意n种五连方的组合(1≤n≤12),都能周期性或非周期性地密铺空间。
定理1
在伤脑筋12块中,任意n种五连方的组合(2≤n≤12),都能周期性或非周期性地密铺平面和空间。
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