从三角形的稳定性知道，三角形的三边确定后，它的形状也就确定了。那么，已知三角形的三边长度，如何计算这个三角形的三个内角的度数呢？

关于这个问题，可谓前人之述备矣。首先介绍不用公式和函数表的行军三角学，第二单元再论述这个问题的普通解法。

大大简化的行军三角学

《趣味几何学》第五章：不用公式和函数表的行军三角学。

本章介绍的是大大简化的三角学。首先简述了正弦函数的概念，然后论述了如何自己编制一个正弦函数表。当然，由于是简化三角学，这张表给出的是0°到90°之间每隔一度的角度的正弦值，精度为小数点后两位。

由于代数课本里教的开平方的方法很容易忘记，所以别莱利曼又介绍了一个容易理解和掌握的开平方方法。

接下来介绍了根据已知正弦值求角度的近似方法。这样，别莱利曼就完成了全部的准备工作。现在我们可以从角度求出它的正弦值，也会从它的正弦值求出角度，而且精度满足简化三角学的要求。

当你在郊外旅行的时候，身边没有三角函数表，三角公式又忘记了，这种简化三角学很有用处，能够计算三角形的边长精确到2%，三角形的内角精确到1°。例如鲁滨逊，他在荒岛上可以用这种简化三角学解决许多问题。

这种简化三角学只使用正弦函数，难道这就够了？对于这个疑问，作者用5道例题证明，只知道正弦函数已经完全够用了。例题精选：三角形地区

［题］我们在旅行中，用脚步量出了一个三角形地区三边的长度，是43,60和54步。这三角形的三个角的度数各是多少？

题目背景

题目来自苏联科普作家别莱利曼的经典著作《趣味几何学》。

［解］这种由三边来解三角形的题目，是解三角形中最复杂一种情形。但是我们也同样有办法解答这个题目，除正弦外不用其它三角函数。

在最长的一边 AC 上作三角形的高 BD （图96)，得：

BD²=43²-AD² ,

BD²=54²-DC²,

从上列二式得：

43²- AD²=54²-DC²,

DC² - AD² =54²-43²=1070。

但是

DC² - AD²=( DC + AD )( DC - AD )

=60( DC - AD )。

因此

60( DC - AD )=1070,

DC - AD =17.8。

由 DC - AD =17.8,

DC + AD =60,

得：2DC=77.8,

就是 DC=38.9。

现在就不难算出三角形的高来：

BD =√(54²-38.9²)=37.4,

从这里可以求出：

SinA =BD:AB=37.4:43=0.87,

A≈60°。

sinC =BD:BC=37.4:54=0.69,

C≈44°。

第三个角

B =180°-( A + C )=76°。

假如我们现在再用学校里的三角学课本所教给我们的方法，利用函数表来解出这个题目，那么，马上可以得到精确到几分几秒的各角的度数。但是这些分秒我们可以断定它们一定是错误的，因对用脚步量出来的三角形的边长，至少会有2%~3％的误差。因此，我们用不着欺骗自己，我们必须把所得到的角度的“精确”值至少变成一个整度数。那么，我们所得到的答案将和方才简化方式所得时一样。所以，在这一类的情形，我们的“行军三角学”的确是很切实用的。

普通方法解答例题三角形地区

一般的思路是利用余弦定理解题。先看公式：

上图是余弦定理的基本公式。公式虽然有三个，但写出一个后，可以通过循环置换得到另外两个。

当我们要求边时，有变式1：

如果要求角，有两个变式：

求角的变式1

还有一个变式：

求角的变式2

还有关于特殊角的温馨提示：

几个边角转化特例

还有余弦定理的角元形式：

余弦定理还有一个很有用的变式：

求面积请看下图：

现在回到例题三角形地区，我们用余弦定理求角的变式2来解答。

下面，我们先求角A。直接套公式可得：

用微软数学计算反三角函数

上图计算得出的角A的度数是弧度，我们把它转化为角度：

弧度×180÷π=角度

1.057683623×180÷π

=60.600807658°

=60.6°

顺便说一下，已知角度转化为弧度的公式是：弧度=角度×π÷180

接下来继续求角B。

同理可得，

角B的角度(弧度）

把弧度转化为角度：

那么，角C也知道了：

C=180-（60.6+75.5）=43.9°

还有一个问题，如果出题老师把题目变一下，从已知三边变成已知两边和夹角，那么，还会不会做呢？

这很简单，请看下图：

特别收录

张景中先生科普书中的资料。

对于只用到正弦函数的简化三角学，下面这张表最合适。

总结和感想

《趣味几何学》是苏联著名科普作家别莱利曼百余部作品之一。

这本书不仅为数学爱好者而写，也为那些还没有发现数学上许多引人入胜的东西的读者写的。

许多读者曾经在学校（或现在正在学）学过几何学，但并不习惯去注意在我们周围世界里各种事物常见的几何关系。不会在实际方面应用学到的几何学知识。在生活中遇到困难的时候，在郊游和露营的时候，不知道怎样应用学到的几何学知识。

引起读者对几何学的兴趣，或者照作者的话说：“引起研究它的愿望，培养研究它的嗜好，是本书的主要任务。”

为了这个目的，作者把几何学从学校教室的围墙里，从科学的围城中，引到户外去，到树林里，到原野上，到河边，到路上，在那里摆脱教科书和函数表，无拘无束地来做几何作业，利用几何知识重新认识美丽的世界......

例如不用公式是函数表的行军几何学。教材里的几十个三角公式让许多学生望而生畏，而简化三角学居然只用正弦函数，不用公式和函数表，就能解决许多实际问题，精度满足行军三角学的要求。

例如本文提到的已知三边求三角的问题，普通思路是用余弦定理解题。而作者坚信行军三角学的存在，所以，只用正弦函数也能解决问题。而且，综览全书，居然没有使用正弦定理，我觉得用了也不犯规啊。

在此，也能够感受到信念的力量。因为相信，所以看见。所以能够超越常规思路的局限，看见只用正弦函数的精彩解法。

作者的精彩解法包含了正弦函数的概念，勾股定理，平方差公式，列方程以及小学数学的和差问题等等知识点。这些知识点并不难，但是作者的综合法和灵活运用让人赞叹。

这背后蕴藏着熟能生巧的原理。熟练不仅生巧，还能够带来牢固，产生灵活。所以，天下没有免费的午餐，同学们，学习没有捷径，请从多做练习开始吧！

今天是七夕节，祝大家七夕快乐！