切线法计算16x^3-9x^2+6=0在(-0.7,0)上的近似解误差不超过0.001

主要内容：

根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算方程16x^3-9x^2+6=0在(-0.7,0)上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。

主要过程：

※.判断方程根的情况

设f(x)=16x^3-9x^2+6，

当x=-0.7时,f(-0.7)=16*(-0.7)^3-9*(-0.7)^2+6=-3.9＜0，

当x=0时,f(0)= 16*0-9*0+6=6＞0，

可知在区间(-1,0)上必有实数根，下面讨论根的唯一性：

对x求导有：

f'(x)=12*4x^2-6*3x=6x(2*4x-3)，

在区间(-0.7,0)上，对于f'(x)=6x(8x-3)>0，则f(x)为增函数,

故方程16x^3-9x^2+6=0在(-0.7,0)上有唯一实数解。

※.切线法近似计算

根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：

xi=-0.7-f(-0.7)/f'(-0.7)，以下连续用该方程进行计算，则有：

x1=-0.7-f(-0.7)/f'(-0.7)= -0.7+3.9/36.12=-0.592,

x2=-0.592-f(-0.592)/f'(-0.592)=-0.592+0.474/27.478=-0.575,

x3=-0.575-f(-0.575)/f'(-0.575)=-0.575+0.017/26.220=-0.574,

x4=-0.574-f(-0.574)/f'(-0.574)=-0.574-0.009/26.147=-0.574,

至此，可知可以以x=-0.574或者x=-0.575为方程根的近似值，其误差不超过0.001。