如何求出斐波那契数列的通项公式？匪夷所思的求解思路！

我们都知道著名的斐波那契数列：

1，1，2，3，5，8，13，…

斐波那契数列也称为加和数列，这个数列的最大特征就是从第三项开始，每一项都等于前面两项之和。

斐波那契数列有很多有趣的性质，这里简单介绍几个性质

性质一：

1×2=2=1^2+1

1×3=3=2^2-1

2×5=10=3^2+1

3×8=24=5^2-1

5×13=65=8^2+1

8×21=168=13^2-1

…………

a(n-1)×a(n+1)

=(an)^2-(-1)^n，n≥2

性质二：

1^2=1=1×1

1^2+1^2=2=1×2

1^2+1^2+2^2=6=2×3

1^2+1^2+2^2+3^2=15=3×5

1^2+1^2+2^2+3^2+5^2=40=5×8

…………

(a1)^2+…+(an)^2=an×a(n+1)

性质三：

1/1=1

1/2=0.5

2/3=0.666…

3/5=0.6

5/8=0.625

8/13=0.615…

13/21=0.619…

21/34=0.617…

…………

你观察到什么了吗？

随着项数的增加，数列前项与后项的比值逐渐逼近于黄金分割数

(√5-1)/2=0.618…

黄金分割数

实际上，可以证明

lim[an/a(n+1)]=(√5-1)/2，n→∞

lim[a(n+1)/an]=(√5+1)/2，n→∞

以上三个性质并不是本文讨论的重点，这里就不进行严格证明了。

斐波那契数列类似有趣的性质还有很多，大家如果感兴趣的话，我后面再专门写一篇文章进行讲解。

今天来讨论一个比较复杂的问题，求出斐波那契数列的通项公式。

求斐波那契数列通项公式的方法很多，今天介绍一种容易理解的方法，仅用初等数学的知识来求解。

注意坐稳扶好！前方高能预警！

已知：a1=a2=1

an=a(n-1)+a(n-2)，n≥3

求：an

解：我们首先构造一个等量关系

an-xa(n-1)

=y[a(n-1)-xa(n-2)]，n≥3

an-xa(n-1)=ya(n-1)-xya(n-2)

an=(x+y)a(n-1)-xya(n-2)

根据an=a(n-1)+a(n-2)，可得

x+y=1，xy=-1

解这个二元一次方程组

可得两组解：

x1=(1-√5)/2，y1=(1+√5)/2

x2=(1+√5)/2，y2=(1-√5)/2

将这两组解代入构造的等量关系中

an-x1a(n-1)

=y1[a(n-1)-x1a(n-2)]

=(y1)^2×[a(n-2)-x1a(n-3)]

=…………

=(y1)^(n-2)×(a2-x1a1)

=(y1)^(n-2)×[1-(1-√5)/2]

=(y1)^(n-2)×[(1+√5)/2]

=(y1)^(n-2)×y1

=(y1)^(n-1)

①式：an-x1a(n-1)=(y1)^(n-1)

an-x2a(n-1)

=y2[a(n-1)-x2a(n-2)]

=(y2)^2×[a(n-2)-x2a(n-3)]

=…………

=(y2)^(n-2)×(a2-x1a1)

=(y2)^(n-2)×[1-(1+√5)/2]

=(y2)^(n-2)×[(1-√5)/2]

=(y2)^(n-2)×y2

=(y2)^(n-1)

②式：an-x2a(n-1)=(y2)^(n-1)

①式：an-x1a(n-1)=(y1)^(n-1)

②式：an-x2a(n-1)=(y2)^(n-1)

①式×y1，得③式

y1an-x1y1a(n-1)=(y1)^n

③式：y1an+a(n-1)=(y1)^n

②式×y2，得④式

y2an-x2y2a(n-1)=(y2)^n

④式：y2an+a(n-1)=(y2)^n

③式：y1an+a(n-1)=(y1)^n

④式：y2an+a(n-1)=(y2)^n

x1=(1-√5)/2，y1=(1+√5)/2

x2=(1+√5)/2，y2=(1-√5)/2

将③式与④式作差：

(y1-y2)an=(y1)^n-(y2)^n

[(1+√5)/2-(1-√5)/2]an

=(y1)^n-(y2)^n

√5an=(y1)^n-(y2)^n

an=[(y1)^n-(y2)^n]/√5

我们最终得出了斐波那契数列的通项公式：an=

{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5

现在，我们也可以解释为什么斐波那契数列会和黄金分割数相关了。

an=[(y1)^n-(y2)^n]/√5

a(n+1)=

[(y1)^(n+1)-(y2)^(n+1)]/√5

an/a(n+1)

=[1-(y2/y1)^n]/[y1-y2×(y2/y1)^n]

y2/y1=[(1-√5)/2]/[(1+√5)/2]

=(1-√5)/(1+√5)=-(3-√5)/2

∣y2/y1∣=(3-√5)/2＜1

lim(y2/y1)^n=0，n→∞

lim[an/a(n+1)]，n→∞

=lim

[1-(y2/y1)^n]/[y1-y2×(y2/y1)^n]

=(1-0)/(y1-y2×0)=1/y1

=1/[(1+√5)/2]=(√5-1)/2

lim[an/a(n+1)]=(√5-1)/2，n→∞

今天我们介绍了斐波那契数列的一些奇妙性质，严格求出了斐波那契数列的通项公式，并证明了斐波那契数列的极限和黄金分割的联系。

这种通过构造等量关系，求出待定系数的方法非常巧妙，希望大家能够认真揣摩。