该小文不是面对每一位阅读者的，看到过程需要有一定思考和学习能力，也可能需要一点点坚持的毅力，如果没有，请划过！

阅读完本文，至少让你可以比较精准的辨识学习数学的难点，找到合理的路径，收获学习数学的启发，得到可以落地实操的做法，这样的方法可以迁移到其他科目的学习中。

所给的例子，大可不必因为不清楚而放弃！毕竟学习是需要一点毅力的！

用不少朋友们不熟悉的任务分配问题，进行问题的提出，通过该案例层层的剖析，一步步导入，去发现求解问题背后需要有哪些知识储备和技能准备，看看数学学习的难点的。

通过该案例问题的分析、解决，去探求学习数学的一般规律，怎样做会更好地求解问题，通过分析，我们逐步领会，日常孩子们所学数学之难，都会难在何处，寻找不同的难点，进而得到如何去做，才可以更有效地学习数学，解决所面临的“难题”

这些前面的话，已经把不同频的人去掉了一大部分了。

我们现在开始进入正题。

一、一个问题之所以难，难在了哪里？

我们来看一个例子：

有4个工人要分别指派完成4项不同的工作，每人做各项工作所耗用的时间如表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间最少。

面对这个问题，想到的解决思路一定不止一条。

解题开始，我们就像站在一个迷宫前面，有好几个入口，刚开始的时候，完全不知道应该踏入哪一个入口，更不清楚再进入这个入口后有什么样的东西在等待着我们，通路隐藏在众多个错误入口之中。

从概率上来说，犯错的概率远远大于正确选择的概率。

比如说，该问题毕竟只有四个人四项工作，大力出奇迹，可以用穷举所有可能组合的形式来进行求解，就是20个人20项工作再努力下，反正身体好，继续大力出奇迹……

如果我们应用数学的一些知识来求解，该如何去做？

那面对的第一个问题，就是把这些文字和表格表示，用数学形式化表达，摆在面前的第一件事情就是代数化，用到我们学到初中的数学思想，就是代数化。

那如何代数化？首先就需要进行变量设置，如何设置？由于是既有人又有工作，两个内容，我需要表达某个人去做某项工作，这个就考虑用双标号的办法，用i表示人，用j工作，自然数i,j的取值分别为：1<=i<=4；1<=j<=4，那么就可以用Xij来表达第i个人做第j件工作，将这个表述用数学符号表示了出来。

目标是时间花费最少：

一个工作由一个人来做，一个人只做一个工作这件事，表述如下：

那么接下来就是对该问题的求解了

怎么解决？

转化到这里的时候，就可以借助单纯形法或者表上作业法或者 0-1 规划来求解了，不过解决这类问题以上办法，是不够简约的，由于这一问题的特殊性，有专用的方法，这里我们将其他的方法暂时不做介绍，仅介绍该类问题的解决办法匈牙利算法。

这是数学家 W·W·Kuhn(库恩) 于 1955 年利用匈牙利数学家康尼格关于矩阵中零元素的定理，提出的一个解此问题的算法。

这个需要用到几个基本的知识：系数矩阵和系数矩阵秩两个概念

（1）系数矩阵：假设有一个包含m个未知量和n个方程的线性方程组，其中每个方程都可以写成以下形式：

其中，a1、a2、...、am是各个未知量的系数，b是等号右边的常数。

那么，将这些系数按照一定的顺序排列成一个m行n列的矩阵，就是这个线性方程组的系数矩阵。

例如，一个包含三个未知量和两个方程的线性方程组：

其系数矩阵为：

（2）系数矩阵秩：即是系数矩阵中最大线性无关列数（或行数）；这里面又含着一个线性无关的概念。

（3）线性无关，高中在向量这部分其实已经涉及到了向量无关和相关的内容。比如我们谈到的空间向量的基底，就是线性无关向量。表述下就是：如果一个向量集合中的所有向量不能表示成另外一些向量的线性组合，则称这个向量集合为线性无关。

例如，若有系数矩阵：a=(1 2 3),b=(2 4 6),c=(3 6 9),可以看出，这个三元方程组的系数，b和c是a的倍数关系，从而可知该线性方程组中存在冗余方程，即第二个方程，第三个方程是第一个方程的倍数，没有提供任何新的信息。这就是线性相关了，如果写成系数矩阵

那么以上矩阵的秩为1.

回到我们上面问题的求解上来，首先将上表中的数字写成如下的矩阵形式：

匈牙利算法，给出其具体步骤如下：

Step1对上表的4行4列进行如下变换

每行中各数字减去该行中的最小数字；

每列中各数字减去该列中的最小数字。

Step2 试指派

1．从只有一个零的行开始，给这个零加圈，记为◎；然后划去加圈的0所在行和列中的其余零，记为 Ø。

2．从只有一个零的列开始，给这个零加圈，记为◎；然后划去加圈的0所在行和列中的其余零元素，记为 Ø。

3．反复进行以上两步。

4．如果仍有没有加圈的零且同行（列）零至少有两个，则在剩余零最少的行（列）开始，比较该行各零所在列中零的数目，选择零少的那列的这个零加圈，然后划去加圈的0所在行和列中的其余零，反复进行，直到所有的零加圈或者划去。

5．如果加圈数字的个数等于这个系数矩阵的阶数，那么指派问题的最优解已得到。否则转入下一步。

Step3 用最少直线覆盖所有零

（1）没有◎的行画√；

（2）画√的行中有零元素的列画√；

（3）画√的列中有◎的行画√；

（4）重复②③，直到得不出画√的行和列为止；

（5）没有画√的行画横线；

（6）画√的列画竖线。

Step4 调整方案

1．在没有覆盖的数字中找出最小元素记为θ；

2．在画√的行中各元素减上θ ；

3．在画√的列中各元素加上 θ ；

4．返回到 Step2。

到这里，我们需要解决该问题的所有东西齐备了，需要的知识和解题方法，接下来就是操作按上述所讲进行操作求解了。

可以操作下来么？

这还真不好说。

二、从例子中体会到的难点

数学有时被认为是难学的，成绩好坏绝对不是一个孩子聪明或者愚笨来解释的。

从这个问题的求解中发现，这个学科有其比较特别的一些特点，因此呈现的难主要有以下几点，所说必有不足之处，大家可以补充。

1.理解困难

就如开始所说：解题开始，我们就像站在一个迷宫前面，有好几个入口，刚开始的时候，完全不知道应该踏入哪一个入口。对于题目中文字的叙述准确的理解是做题目的第一步，当一步步读题时，在大脑中联系相应的知识点。理解联系以后，需要符号化这个基本工序接着继续进行；

2. 符号化难

将在阅读和联系的知识做法等抽离出来的关键信息、内容，接着用数学符号将其表达出来，并能够嵌入相应的计算法则里面去，这些符号和规则需要长时间学习和练习才能熟练应用。

3.步骤较多

在上面抽离和进行数学表达中，数学概念和符号复杂，尤其涉及的基本概念较多，需要掌握的基本方法较多，一步步堆叠在一起，而且其中不乏岔路口层层叠叠，这样的情况下，步骤增，就更需要花费一些时间去理解和掌握。

4.难度层次递增

随着从小学到初中的学习，以及到高中后会发现数学的难度层次就会比较高，因为每个阶段的知识都建立在前面的基础上，如果没有理解前面的内容，则后面的内容就会更加困难，小学夹生饭一直到初中又会形成新的难以理解的节点，再到高中，就会造成解题的困难，毕竟万丈高楼起于垒土，这下面的根基不牢靠，就会导致看问题看不清，想问题想不明白，就觉得数学学习很困难。

5. 数学知识关联

数学知识相互关联，需要建立起知识体系，首先建立这样的知识体系是相当困难的事情，小学初中的孩子正处于贪玩阶段，很难能够完整地讲这些内容自主地完成体系的建立，建立了知识体系更需要花费时间来掌握和理解知识之间横纵联系。

6.限时解决

我们大部分解决数学问题都是在限时的情况下进行的，所以考察的不仅是解决问题的能力，更是在有限时间内解决问题的能力，这就需要我们对问题能够精准定位，有效转化和高效求解。

考试中，如果准备的不充分，在面对某一道思路难以打开的问题的时候，试错的成本较高，而且对于考试心态影响极其巨大。

在寻找路径的时候，频繁无功而返，心理压力会成倍增加。对于心理建设较差的孩子，将会即刻陷入白白浪费时间的懊恼，越懊恼、越着急、越慌乱、越出错、越懊恼……这样就就进入了恶性循环，对于解决问题没有增益，只会觉得数学好难。

7.计算量大

平时即使没有时间压力，不可否认的一种状态是运算量大，毕竟在考试中，只要是数学考试，很定有一项考察的重点：运算能力。

近两年的高考考试导向就有一个比较明显的特点：加大了基本运算能力的考察，在高中数学里面，比如解析几何、立体几何、以及导数部分都有不少运算量极大的题目的存在。运算量大，要求的正确率高，这对于平时马虎的孩子的确就不是很友好。

8.难题的存在

难题之所以难，有可能在开始阅读题目的时候，很难联系知识，思路打开困难，思路打开后，发现步骤多，岔路频生干扰多，解决起来需要的知识点多，横纵联系强，数形结合或者转化思维要求高、计算量大。所以，平时很多孩子不会做的问题就直接看答案，看来那么的简单，但是自己亲自面对一个新的难题的时候，又会两眼一抹黑。这对于孩子的自信型影响极大，没有勇气去挑战面对的困难题目，可以增加技能和知识融汇能力的信心就不足；

9.逻辑思维严密

数学问题的求解中，一环和一环紧紧扣在一起，对于逻辑推理和思维有较高要求，这本质上也是对于所给的概念的一些入微的理解和应用。

10. 缺少实际应用

数学学习通常是基于理论和抽象概念进行教学和学习的，数学问题通常与实际问题有一定的脱离。

有时，为了让问题更易于处理，数学在抽离具象得到模型的过程中，通常对实际问题进行简化或抽象，忽略掉某些细节或复杂性，因此可能无法完全反映实际问题的真实情况。

对于部分学生来说，可能难以意识到数学知识的实际应用价值。

三、几点学习建议

以上是10个可能让人学习数学比较困难的具体点，那该具体的做些什么，才能更好地学习数学？

以下是一些针对以上困难点的建议，可以帮助学生更高效地学习数学：

1.建立扎实的基础知识，掌握好每个阶段的内容，对每一个基础概念和基本方法的牢固掌握，记忆熟练到如数家珍。熟记是初步的要求，就像我们对圆面积的公式、勾股定理的熟悉一样。这有助于在读题时联系（联系的提纲如下）。

2.认真读题，对于题目中的内容一句句地阅读，读一点，弄通一点情景；列举一个函数问题，大家可以尝试着一句句去解读并进行联系练习。

3.多进行题目练习和考试模拟，及时发现不熟悉的知识和未掌握透彻的公式定理等知识，并及时纠正自己的错误。

4.尝试通过数学的案例或者实例来理解抽象概念，并结合图像、图表以及部分数学教学软件等辅助教学工具，帮助自己更好地理解和记忆。

5. 多进行公式定理的推导和验证练习，并通过阅读经典的数学课外读本，以及经典、绝妙的证明来提升自己的证明能力。

6.积极寻找数学知识的实际应用，了解数学在各行各业中的作用，这不仅有助于提高学生的学习兴趣，还可以提高其学习效果。

7.尝试去改编案例，以及创设应用场景，将所学习的知识、方法放在更宽泛的应用场域内进行推广，总结体现出来的一般规律，形成一种站在系统的高度学习的习惯，体现出我们做题的价值和对客观世界逐步达到认清其底层规律的认知价值。

8.制定合理的数学学习计划，分阶段进行学习和练习，避免过度焦虑和压力。同时，家长也可以提供适当的支持和鼓励，帮助孩子更好地应对学习困难。

最后将数学精深训练的9个境界进阶阶梯图送给各位坚持阅读到底的朋友们，知行合一，方得始终；坚持到底，方能创造辉煌。各位阅读到底的朋友们一定会诸事顺遂，心想事成！

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