数学中的分类思想与模运算

数学中有三个基本思想：抽象，推理和模型思想。
其中抽象思想包括分类思想，集合思想，对应思想等等。
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。

有关分类思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类思想可不像一般的数学知识那样，通过短时间的学习就可以掌握应用，而是逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身内涵，从而达到利用数学分类方法来解决问题的目的。

比如，在中学阶段，分类思想就是数学思想中的一个重要组成部分，与“函数与方程”“数形结合”“转化与化归”一起，被称为中学数学的四大思想。

在小学数学学习过程中，分类则是认识几何图形的一种重要方法，比如三角形、四边形等。

本文以整数的模运算为例，来讨论一下数学中的分类思想。

我们知道，整数可以分类为正整数、0和负整数，这是从整数的正负性质进行的分类。

下面是从模运算的角度对整数进行分类。

模运算包括以下几个概念：

同余：若m|(a-b)，即a-b=km，我们就说a和b模m同余，记为 a≡b mod m

有时记为 a≡b (mod m)。

比如 3|(18-15)，则18≡15 mod 3。

可以将整数a和b用模m和余来表示：

a=qam+r，b=qbm+r

这里，r<a，r<b，是关于模m的余。因此有a-b=(qa-qb)m=km。

同余类： 对于模m同余的数构成由模m决定的数类。

就是说，一个模决定了一个数类。因此，与同一个类的所有数对应的是同一个余数r，而且只要在式子mq+r里让q通过所有的整数，我们就得到这个类的所有数。

例 对于模5，数列…,-12,-7,-2,3,8,13,…属于同一个数类，余数都是3。

非负最小剩余：一个类的剩余数，对于同一个类的所有数而言，都叫作模m的剩余。我们得到的剩余正好等于余数r，叫做非负最小剩余。

在上例中，每一个数都是模5的剩余；而3则是模5的非负最小剩余。注意：0≤3<5。

对于余r的m个不同值，我们有m个由模m决定的数类。就是说，当模m确定以后，有m个不同的余数r对应的数类。

例 对于模5，数列

…,-11,-6,-1,4,9,14,…; r=4

…,-12,-7,-2,3,8,13,…；r=3

…,-13,-8,-3,2,7,12,…; r=2

…,-14,-9,-4,1,6,11,…; r=1

…,-15,-10,-5,0,5,10,…; r=0

分别为模5决定的5个数类。

完全剩余组 从模m决定的每个数类中取一个剩余，我们得到模m的一个完全剩余组。

由于模m所决定的数类只有m个，故一个完全剩余组的元素也只有m个。

对于模m的两两不同余的任意m个数，组成这个模的完全剩余组。

显然模m的一个完全剩余组可以有无穷多个。而最常取作完全剩余组的是非负最小剩余0,1,2…m-1。

例 从上面两例的每一个数类中各任取一个数组成数组 –12，-11，2，1，10，称为组成模5的一个完全剩余组，其中元素只有5个，它们对于模5是两两不同余的。

而数组0，1，2，3，4为模5的一个非负的最小剩余组。

由以上分析看到，整数可以按不同的标准分类，就像我们人一样，可以分为男人女人，也可以分为老年人、中年人、青年人等等。这取决于分类的标准是什么。

本文中，仅仅通过一个模m运算，就将全体整数分成了m个类别，简单明了。

所以，数学中的分类思想应用广泛，作用巨大。

上述的模运算还可以用于解方程：

若整数x1满足

ax≡b mod m

即ax1≡b mod m，则可以证明，对于模m与x1同余的所有数都满足这个线性同余式。

则模m和x1同余的整数构成同余式 x≡x1 mod m 的同余解。

例 对于 2x ≡ 3 mod 5，即 5|(2x-3)，可求得 x≡ 4 mod 5 是它的解。如x=9,14,19,…