镶嵌是如何工作的

拼图游戏提供了我们可能经常遇到的镶嵌的简单视觉效果。

我们学习数学是为了它的美丽、它的优雅，以及它将编织在宇宙结构中的各种模式编纂成册的能力。在它的图形和公式中，世俗的人感知秩序，宗教的人捕捉到创造语言的遥远回声。数学达到崇高;有时，就像镶嵌一样，它上升为艺术。

镶嵌——定义形状的无间隙马赛克——属于一种比率、常数和模式，在整个建筑中反复出现，在显微镜下显现出来，从每一个蜂巢和向日葵中散发出来。在几何学、物理学、概率论和统计学、甚至地貌学和混沌理论中找出任意数量的方程，你会发现圆周率(π)就像一个基石。欧拉数(e)在微积分、放射性衰变计算、复利公式和某些奇怪的概率案例中反复出现。早在人们发现黄金分割率(φ)之前，它就构成了艺术、设计、建筑和音乐的基础，它还定义了叶和茎、骨骼、动脉和向日葵的自然排列，或者与脑电波的时钟周期相匹配。它甚至还与另一种常年流行的图案——斐波那契数列——有关，斐波那契数列产生了自己独特的平铺级数。

科学、自然和艺术也充斥着镶嵌图案。就像π、e和φ一样，这些重复图案的例子每天都围绕在我们身边，从平凡的人行道、壁纸、拼图和瓷砖地板，到荷兰平面艺术家M.C.埃舍尔的宏伟艺术，或14世纪西班牙格拉纳达的摩尔人防御工事阿尔罕布拉宫令人惊叹的瓷砖作品。事实上，“镶嵌”这个词来源于“tessella”，是拉丁单词“tessera”的缩略形式，是马赛克中单个的、典型的方形瓷砖。Tessera可能源于希腊语tessares，意思是四。

数学、科学和自然都依赖于这些有用的模式，不管它们的含义是什么。除了马赛克或雕刻的卓越之美之外，镶嵌在数学、天文学、生物学、植物学、生态学、计算机图形学、材料科学和各种模拟(包括道路系统)中都有应用。

首先，让我们看看如何构建镶嵌。

塑形

镶嵌的范围从基本到令人难以置信。最简单的是一个单一的形状，它覆盖了一个二维平面，没有留下任何缝隙。从那里开始，天空就是极限，从多个不规则形状的复杂图案到组合在一起填充空间甚至更高维度的三维固体。

三种规则的几何形状彼此镶嵌:等边三角形、正方形和六边形。其他的四边形也是如此，包括矩形和菱形。通过扩展，如果背靠背放置，非等边三角形可以无缝地贴片，从而创建平行四边形。奇怪的是，任何形状的六边形都可以镶嵌，只要它们的对边相等。因此，任何四面的形状，如果背靠背放置，都可以形成一个无缝隙的马赛克，形成一个六边形。

还可以通过组合正多边形或以特定排列方式混合正多边形和半正多边形来对平面进行镶嵌。多边形是由线段组成的二维形状，如三角形和矩形。正多边形是所有边和所有角相等的多边形的特殊情况。等边三角形和正方形是正多边形的好例子。

所有的镶嵌，即使是像M.C.埃舍尔这样的形状和复杂的镶嵌，都是从一个无间隙重复的形状开始的。诀窍是改变形状——比如说，一个菱形——这样它们仍然能紧密地结合在一起。一种简单的方法是从一边剪出一个形状，然后粘贴到另一边。这产生了一个形状，适合自己和堆叠容易。你改变的面越多，图案就会变得越有趣。

如果你觉得更有冒险精神，试着在一边画一条波浪线，然后把同样的线复制到另一边。这种方法可能需要一些调整，以使各个部分正确地联锁。例如，如果多边形的边数为奇数，则可能需要将剩余的边分成两半，然后在分割的两边绘制镜像形状。这就产生了与自身互锁的一面。

试试你的运气，用两个或更多的形状镶嵌。你可以用几何方式来做，或者简单地用你喜欢的任何形状填充页面，然后想象一个适合负空间的图像。一种相关的方法需要用较小的形状填充已知的镶嵌形状。甚至还有分形镶嵌——形状的图案紧密地结合在一起，在多个尺度上是自相似的。

如果你的初步结果看起来有点荒谬，不要担心。埃舍尔花了数年时间才掌握这些疯狂的马赛克，即使是他也有一些配对并不总是有意义的。

既然我们已经奠定了基础，让我们来看看研究人员用来解决棘手的理论和应用问题的一些特殊镶嵌。

平铺宇宙:特殊镶嵌

当研究人员探索镶嵌并在数学上定义它们时，他们确定了某些类型的镶嵌擅长解决难题。一个流行的例子是Voronoi镶嵌(VT)，也被称为Dirichlet镶嵌或Thiessen多边形。

VT是基于一组点的镶嵌，就像图表上的星星一样。每个点都被一个多边形单元包围——一个由线段形成的封闭形状——它包含了比任何其他点更接近其定义点的整个区域。细胞边界(或多边形段)与两点等距;三个或更多单元相交的节点与三个或更多定义点的距离相等。VT也可以镶嵌更高的维度。

由此产生的VT模式类似于蜜蜂在喝了一整夜花蜜后可能建造的蜂巢。尽管如此，这些歪斜的细胞缺乏美感，但它们的价值却绰绰有余。

像其他镶嵌一样，VTs在自然界中反复出现。原因很容易理解:任何以恒定速率生长在一起的点源现象，比如岩石上的地衣孢子，都会产生类似VT的结构。连接的气泡集合形成三维VTs，这是研究人员在模拟泡沫时利用的一种相似性。

VTs还提供了一种可视化和分析数据模式的有用方法。紧密聚集的空间数据将在VT上作为细胞密集的区域而突出。天文学家利用这种特性来帮助他们识别星系团。

由于计算机处理器可以根据点源数据和一组简单指令动态构建VT，因此使用VT可以节省内存和处理能力——这是生成尖端计算机图形或模拟复杂系统的重要品质。通过减少所需的计算，VTs为蛋白质折叠、细胞建模和组织模拟等不可能的研究打开了大门。

一个密切相关的VT, 三角剖分镶嵌也拥有各种用途。要制作三角剖分镶嵌，从VT开始，然后在定义细胞的点之间画线，使每条新线与两个沃罗诺伊多边形的共享线相交。由此产生的圆滚滚三角形晶格为简化图形和地形提供了方便的结构。

数学家和统计学家使用德劳内镶嵌来回答其他无法计算的问题，比如为空间中的每一点解一个方程。他们没有尝试这种无限的计算，而是为每个德劳内单元计算一个解。

1921年1月27日，爱因斯坦在柏林的普鲁士科学院发表演讲时说:“就数学定律与现实的关系而言，它们是不确定的;就他们所确定的而言，他们并不是指现实。”显然，镶嵌的近似值不够完美。然而，它们通过将原本难以处理的问题简化为当前计算能力可管理的形式，从而实现了进步。更重要的是，它们提醒我们宇宙的内在美和秩序。