反函数的定义及求法

反函数的求法

一、引言

在数学中，反函数是一个非常重要的概念。

它是指对于一个函数y=f(x)，存在另一个函数x=φ(y)，使得对于y的每一个取值，都有x的唯一对应值。

反函数的存在性是由函数的单调性和连续性所决定的。

本文将详细介绍反函数的求法，并给出相应的例题和练习。

二、反函数的定义和性质

定义：如果对于函数y=f(x)，存在一个函数x=φ(y)，使得对于y的每一个取值，都有x的唯一对应值，那么称x=φ(y)为y=f(x)的反函数。

性质：

1. 反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。

2. 反函数和原函数的关系是关于y=x对称。

3. 反函数在其定义域内是单调的。

4. 反函数的导数等于原函数导数的倒数。

三、反函数的求法

求反函数的方法主要有两种：

一种是利用反函数的定义求解，另一种是利用原函数的性质求解。

方法一：利用反函数的定义求解

步骤1：根据反函数的定义，设原函数为y=f(x)，其反函数为x=φ(y)。

步骤2：将y=f(x)中的x替换为y，得到y=f(y)。

步骤3：解出y，得到x=φ(y)。

步骤4：确定反函数的定义域和值域。

例题：求函数y=2x+1的反函数。

解：将y=2x+1中的x替换为y，得到y=2y+1。
解出y，得到x=(y-1)/2，即x=φ(y)。
因此，函数y=2x+1的反函数为x=(y-1)/2。

方法二：利用原函数的性质求解

步骤1：根据原函数的性质，确定原函数的单调性和连续性。

步骤2：根据反函数的定义，确定反函数的定义域和值域。

步骤3：利用原函数的导数和单调性，求解反函数的表达式。

例题：求函数y=x^2的反函数。

解：因为函数y=x^2在x>0时单调递增，在x<0时单调递减，所以它的反函数在y>0时单调递增，在y<0时单调递减。
又因为原函数的导数为2x，所以反函数的导数为1/2√y。由此可得反函数的表达式为x=√y/2。

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