#精品长文创作季#

本文是精品创作，完整知识系统，从0到1构建三角函数重要定理证明过程

三角函数上篇强调来龙去脉的整理

中篇强调定理的证明

下篇强调图形与案例

本中篇，去繁化简且从0到1，用于我自己梳理三角函数的定理系统。

以下是本篇的目录：

1，圆

上图是圆的直观呈现，假设半径长度是R

无论一个圆的半径R有多大，这个圆的面积都是R*R的π倍，这个圆的周长都是R的2π倍，π的值约等于3.14

补充：

1，如果对π的来历有兴趣，参考《三角函数上篇》需要一定的微积分基础，

2，对π的求值有兴趣，参考《π的求值》

2，象限，4分之1圆

古代外国人把一天分为4份，每份6个小时，称1天的4分之1为quadrant，后来演变成一个圆的4分之1，翻译成中文后，译为象限2字，本质就是“4分之1的圆”

3，象限角

一个圆的角度，假设为360度（历史的约定俗成罢了）

红色区域的夹角，范围在0到90度之间，被称为第1象限角

绿色区域的夹角，范围在0到180度之间，第2象限角

蓝色，第3象限角

粉色，第4象限角

3.1，象限角的方向

为了详细说清楚在4个方向上的具体位置（数值量化），引入了数值坐标的概念，即y轴与x轴

1，坐标系

在4分之1圆中引入X轴与Y轴的坐标系，将数值关系与象限结合，以0值为分界点，引入正负半轴的定义，X的正半轴：0为起点，正右方射线，X的负半轴：0为起点，正左方射线，Y的正半轴：0为起点，正上方射线，Y的负半轴：0为起点，正下方射线

为了说清楚坐标轴中夹角的方向，以及标准化夹角的初始位置，引入了顺时针和逆时针的方向概念

2，顺时针，逆时针

根据钟表的数值，从1到12的顺序叫顺时针，从12到1的顺序叫逆时针

3，正负角

将顺时针与逆时针与坐标系结合起来

以X的正半轴为初始射线，终边射线落在4个象限的任意1个，按照逆时针的方向建立夹角，称这样的夹角叫正数角（简称正角），如上图所示，正角的值可以无限大，且终边相同的两个夹角不一定值相同，若α>0，则

同理，顺时针建立的夹角称为负数角（简称负角）

3.2，任意角

在象限内

1，正角

2，负角

3，0角（初始射线与终边射线重合）

满足3种情况之一的角是任意角

1，终边相同的角

如上图，任意角的终边重合，被称为终边相同的角，虽然终边重合但是角度可能会不一样

写成符号缩写的形式为：

补充解释：

360度，就是终边与始边重合的一个夹角，但是夹角的终边扫过了一个圆的区域

720度，夹角的终边扫过2个圆的区域

k*360度，夹角的终边扫过n个圆的区域

Z是整数，整数包含了正整数和负整数2种，正整数就是终边逆时针扫，负整数就是终边顺时针扫

4，弧度

4.1，方向

在判断方向的时候，通常以东西南北来指明方向

局限是，当出现东北方向这两种细分情况时，无法准确的说清楚到底是什么方向

用一个圆扫过的面积或者是半径扫过的路径来表达具体的值，就能说清楚!

已知一个圆的面积公式，圆的周长公式，现在需要知道蓝色区域大小与红色线段的具体值，还需要简化一下条件

将R的值设为1，也就是利用单位圆(半径是1)的概念，直接干掉了R的这个变量的干扰！

那么再回到判断东北2个细分方向的案例上

到底用蓝色面积的值来表达具体方向还是红色距离的值更好呢？

由于每个圆的半径都不一样，因此统一用半径为1的圆来做参考系。

圆的面积为R*R*π，圆的周长为2πR，当R=1时，面积为π，周长是2π。

量化方向的时候只需要用当前方向与正东方向形成的夹角θ与π或者2π相乘，即可得到一个具体的数值，那到底用π还是2π呢？

古人说，用2π更好！我猜祖师爷们估计是觉得4个象限跟偶数有关，2π可能让人感到更亲切吧。

因此，根据祖师爷们约定俗成的选择，单位圆半径扫过的最远距离，是判断绝对方向的量化工具

4.2，弧度

弧度：夹角两边与单位圆相交，单位圆半径末端扫过的距离，称为弧度

例：

东北方向A弧度：

意为初始边是正东，夹角的终边从正东开始往正北方向扫过一片区域，从圆心画单位圆，单位圆与夹角的两边相交，圆周长的红色片段，片段的长度为A

例：

引入坐标系后的A弧度：

弧度与360度内任意角对比

重点是90度，180度，360度的弧度值对比

例：

如果度数后面没有右上标的句号，则意为该度数是弧度，因为π约等于3.14，而3<3.14则有图

例：

建模思路：让目标角与π/2比大小，如果大于π/2再与π比大小，以此类推

4.3，扇形

圆形是角度为2π的特殊扇形，4分之1圆是角度为π/2的扇形，角度为A的扇形如上图所示。

那么对于角度为A且可以表示任意角的扇形，这个扇形的弧长与面积应该如何求呢？

例，求出扇形的弧长与面积

建模思路：

已知圆形的角度是2π，圆形的面积是π*R*R

而角度为A的扇形面积，占圆形面积的，因此扇形的面积为

同理，圆的周长为2π，扇形的弧长占圆周长的，因此扇形的弧长为

例，如果扇形的周长是25，扇形的面积最大值为多少？

建模思路：通过周长公式，将A替换为R的表达式，再带入扇形面积公式，观察极值情况

5，三角函数

5.0，三角函数起源

三角函数的来源是出于一个问题：

在坐标系中，存在任意一点P，从原点发出射线穿过P点，OP线段的长度设为L，从水平轴逆时针往上扫过α的角度，如何求点p到水平轴的垂直距离和点p距离点O的水平距离？

于是建立了2个模型，一个是垂直高度函数V(L，α)，一个是水平长度函数H（L，α）

根据《三角函数上篇》的推导，得到了V与H函数有一个互为导数的性质和H与V的具体表达式

V’=H H’= - V

LV=vertical LH=horizontal

而函数V就是sin函数，函数H就是cos函数，即：

L* sinα=vertical L* cosα=horizontal

5.1，任意角三角函数定义

1，在4个象限中，找到目标A点A（x，y）

2，根据三角函数表达式，带入x与y的值

例：现有X>0,Y>0,R>0，求出以下坐标中指定正角度的sin，cos，tan的表达式

建模思路：先根据截距，设出点P的横纵坐标，再根据三角函数定义求表达式

讨论三角函数在不同象限的正负符号

其中sin，cos，tan三个函数在第一象限都是正数，第二象限只有sin是正数，第三象限只有tan是正数，第四象限只有cos是正数

如果称sin，cos，tan统称为whole（全部），那么第1，2,3,4象限的正数函数依次是

1，（sin，cos，tan） whole w 我

2，sin s 是

3，tan t 天

4，cos c 才

例：已知tanA*sinA<0，cosA/tanA>0，则A是第几象限角？

解题思路：根据我w(s,c,t)是(s)天(t)才(c)口诀，做判断

若tanA>0，则sinA<0，由于1,3象限中tanA>0，sinA<0,因此只能是第3象限，

cosA/tanA<0 不满足条件

若tanA<0，则sinA>0，由于1,2象限中sinA>0,要满足tanA<0只能是第2象限，

cosA/tanA>0，满足条件

因此A是第2象限角

例：列出常用的三角函数

5.2，函数的变化

前提，设有常数A>0，在函数变化过程中，用于增减幅度或者增减距离

1，y=sin（x+A），y=sin（x-A）

现有sin（x）红色函数图像，将图像整体向右平移A，则是sin（x-A）紫色图像，将sin（x）图像整体向左平移A，则是sin（x+A）蓝色图像

结论：

+A，函数图像向左平移A

-A，函数图像向右平移A

2，y=Asin（x）

现有sin（x）红色图像，3sin（x）代表x值不变y值变为3倍即黑色图像，2sin（x）代表x值不变y值变为2倍即紫色图像

结论：

纵向拉伸A倍为A sin（x）

3，y=sin（Ax）

现有sin（x）红色图像，欲将sin（x）的图像横向拉长3倍，即sin（x/4）绿色图像，将sin（x）的图像横向压缩1倍，即sin（2x）蓝色图像

结论：

sin（Ax）的图像为横向伸缩1/A倍

4，y=sin（x）+A，y=sin（x）-A

现有sin（x）黑色图像，

图像往上移动A，即有sin（x）+A红色图像，

图像往下移动A，即有sin（x）-A蓝色图像。

结论：

sin（x）+A图像y值上移A距离，

sin（x）-A图像y值下移A距离

5，y=Asin(Wx+φ)+D的周期

5.3，三角函数映射-诱导公式来源

角度α，对应的三角函数是sin（α），cos（α），tan（α）

找出与α角度相同的角

以上8张图，代表与α相同的角的不同位置，蓝色编号对应不同的图，红色点代表每个图中的p点（x，y）

1，1象限内角A

终边相同的角，在图像上属于没有移动的映射，已知三角函数只跟点p(x，y)的x与y值有关，有如下的映射关系

2，1象限内角B

在任意角的视角下，本质上是求角(π/2-α)的三角函数，而三角函数只跟点的x与y值相关，所以有关系如下：

3，2象限内角A

本质上是求角（π/2+α）的三角函数，因此：

4，2象限内角B

本质上是求π-α角的三角函数，因此：

5，3象限内角A

本质上是求π+α的三角函数，因此：

6，3象限内角B

本质是求3π/2-α角的三角函数

7，4象限内角A

本质是求3π/2+α角的三角函数

8，4象限内角B

本质是求2π-α角的三角函数

9，特殊映射

10，诱导公式总结

当α是锐角时，在坐标系上有8种常规映射和1种特殊映射。

上面这么多的映射变化，建模的时候需要作图，不建模只做题的时候如果开卷考试可以直接查表，闭卷的情况下，需要记忆一个将每个等式左边复杂表达式化简成右边简单表达式的口诀

“奇变偶不变，符号看象限”

例：诱导公式口诀

“奇变偶不变，符号看象限”

2kπ属于(π/2)*4 α是锐角，1象限

4为偶数，偶不变，1象限，所以函数与符号均为原函数

sin：+sin cos： +cos tan： +tan

Π/2是π/2 *1 π/2-α是1象限角

1是奇数，奇数函数变化，1象限符号不变

sin： +cos cos： +sin tan： +1/tan

Π/2是π/2 *1 π/2+α是2象限角

1是奇数，奇数函数变化，所以sin-cos cos-sin tan-1/tan

2象限只有sin函数符号为正

sin： +cos cos： -sin tan： - 1/tan

Π是π/2 * 2 π-α是2象限角

2是偶数，偶数函数不变

2象限只有sin函数是正

sin： +sin cos：-cos tan：-tan

Π是π/2 * 2 π-α是3象限角

2是偶数，偶数函数不变

3象限只有tan函数是正

sin：-sin cos：-cos tan：tan

3π/2是π/2 *3 3π/2-α是3象限角

3是奇数，奇数函数变

3象限角只有tan函数是正

sin: -cos cos:-sin tan:1/tan

3π/2是π/2 *3 3π/2+α是4象限角

3是奇数，奇数函数变

4象限角只有cos函数是正

sin：-cos cos: sin tan:-1/tan

2π是π/2 *4 2π-α是4象限角

4是偶数，偶数函数不变

4象限只有cos函数是正

sin：-sin cos：cos tan：-tan

0是π/2 * 0 -α是4象限角

0是偶数，偶数函数不变

4象限只有cos函数是正

sin:-sin cos:cos tan:-tan

5.4，三角函数恒等式的来源

1，平方和公式来源

从图上得到以下信息

1，圆的半径长度是1

2，在圆上的任意点P可以表达为P（cosθ，sinθ）

3，cosθ的绝对值与sinθ的绝对值，是直角三角形的2条直角边

4，2条直角边的平方和=斜边的平方（勾股定理）

所以，容易得到4个关系

2，两角和差公式来源

例：已知三角形AOB相邻两条边OA与OB以及其夹角β与α，如何求该三角形面积？

例：已知sin（α+β），如何将其展开为α与β的三角函数组合？

例：已知sin（a-β），如何将其展开为α与β的三角函数组合？

建模思路：

通过将-β转换为+（-β）带入两角和正弦公式sin（α+β）=sinαcosβ+sinβcosα

例：仿照sin（α+β）和sin（α-β），设计cos（α+β）与cos（α-β）的展开

例：根据推导出来的两角和差正弦公式与余弦公式，设计类似正切公式

总结：

3，常用角公式来源

3.1，2倍角公式

例：sin2α，cos2α，tan2α的表达式

3.2，降幂公式

例：

建模思路：根据2倍角公式内容推导

3.3，半角公式

例：

3.4，万能公式

例，能否找到一种，可以替换sinα，cosα和tanα的公式？

3.5，辅助角公式

例：如何将asinA+bcosA或者asinA-bcosA转换成一个三角函数的表达式？

3.6，积化和差，和差化积

例：如何将两个三角函数的相加与相乘转换?

5.5，三角函数图像

例：如何最快地画出sinα，cosα与tanα的图像？

建模思路：5点作图法

例，根据5点作图法，作出y=cosx的图像和y=tanx的图像