「图解数学」系列将连载12期，根据欧几里得几何推演逻辑，用学生看起来最为直观的图形，来讲解平面几何各个知识点。精确覆盖SAT/ACT平面几何部分的所有考点；涉及AMC8和公立学校初中平面几何重要知识点，并为国际学校和公立学校学生作中英文对照。

推荐阅读人群：国际学校中学阶段，有意向考AMC的学生、公立学校初中学生、数学爱好者。

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如果要从人类智慧与理性发展史中选一部开山鼻祖的巅峰巨作，非欧几里得（Euclid）的《几何原本》（The Elements）莫属。自成书两千多年以来，一直流传至今，经久不衰，在西方世界的流传程度仅次于《圣经》。

《几何原本》是第一本向人们展示了数学推理、归纳演绎的极致著作。而其经久不衰的与其逻辑严密的是分不开的，每个定理（theorem）、性质（property）都是由之前的推导而出，环环相扣，保证严谨。而任何事情都有源头，推导的源头就是公设（postulation）。

欧氏几何五条公设：

1）过两点能作且只能作一直线；

2）线段可以无限地延长；

3）以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆；

4）凡是直角都相等；

5）第五公设（后文中再详细说明）

由此我们就有了点（point），两个点就能确定直线（line）、射线（ray）和线段（segment）。

当平面上有两条直线相交时，它们之间就存在了夹角（angle）。

• 人们把两条直线相交所呈的四个角都相等时的角定义为直角（right angle）；

• 两个直角之和叫做平角（flat angle）;

• 四个直角之和叫做周角（round angle）;

• 把小于直角且为正数角的角定义为锐角（acute angle）；

• 把大于直角且小于平角的角定义为钝角（obtuse angle）。

值得注意的是，我在以上叙述中，并没有提及直角是多少度。事实上，一个直角是多少度并不重要也不本质，直角是90°只不过由于人们把周角定义为360°而已，并不是数学发展必然的结果（比如如果一开始人们把一圈叫做100°，那么直角就是25°也是合理的）。

所以在研究三角函数的时候，人们采用弧度制（radian measure），即用弧长比半径，这样表示角更为本质。

当有了角的定义，人们发现并命名了两种特殊的角度关系：

• 如图1，把相加起来为直角个角叫做互为余角（complementary angels），简称互余；

• 如图2，把相加起来为平角个角叫做互为补角（supplementary angels），简称互补；

• 如图3中的角1和角2是由两条直线相交时所产生的不相邻的两个角，这样的两个角互为对顶角（opposite angles），因它们都与大角互补，所以它们相等，这个性质叫做对顶角（opposite angles）相等。

平面中的直线会不会永远不相交呢？

因为直线是无限延长的，一直延伸下去会发生什么人们无从得知也无法证明。欧氏几何认为存在这样一种永不相交的状态，命名为平行（parallel）。

两条直线平行有什么性质，也无法由之前的四个公设中得出，因此产生了平行公设（parallel postulate)，也称为欧几里得第五公设，在《几何原本》应运而出。这是欧几里得几何一条与别的不同的公设，比前四条复杂。公设是说：

如果一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。

这条公设永远不会被证明，也永远不会被证伪，如果认为它是对的，将引出中学平面几何中重要的平行线的性质：

1）如图1，两直线平行，同位角（corresponding angles）相等；

2）如图2，两直线平行，内错角（alternate interior angles）相等；

3）如图3，两直线平行，同旁内角（interior angles in the same side）互补；

4）如图4，两直线平行，同旁外角（exterior angles in the same sige）互补。

好，学到这里，让我们来复习一下今天的知识点：

今日延伸

也许大家早都知道三角形内角和是180°，可是是否有仔细想过，

为什么三角形内角和是180°？

为什么三角形形状改变，内角和永远不变？

现在想想，根据下图并且利用上述公设定理自行证证吧！

数学的严谨性来源于证明，乐趣亦是存在于此。