昨天我在文章《解读真实的电子双狭缝实验，辟谣对量子力学的误解，科普有责任》给大家介绍了真是的电子双狭缝衍射实验的一些小细节和过程。今天我们就以这个实验为基础，从经典走向量子。特殊强调一下：本文的分析和结论都与实验结果完全符合。

一、电子双狭缝衍射实验证明德布罗意关系式正确

我们回忆一下前文的电子双狭缝衍射过程，我们从实验过程中可以清楚地知道：从电子枪中射出的电子，经过电场加速，穿过双狭缝之后，在投影屏上形成明暗相间的条纹。把它抽象成如下的图的过程。

图1 电子的双狭缝衍射

现在把接收屏换成法拉第筒，用灵敏电流表来测量不同位置处的电子束的强度。我们发现，P点电流强度I和入射电流I'的关系为：I=4I'[cos(πd/λsinθ)]^2

在sinθ=nλ/d，n=0，1，2，……处，电流强度为极大，这个实验已经有人做过，严格证实了实验测量值和上面的公式完全吻合。其中的λ由德布罗意公式给出。

不仅如此，后来的其它实验中，也观察到原子、分子和中子等微观粒子的衍射现象，实验数据的分析都肯定衍射波波长和粒子动量间存在着德布罗意关系。

由此（电子双狭缝衍射实验和理论分析）我们可以确定，德布罗意预言的物质波存在，德布罗意物质波公式正确。

电子双狭缝衍射实验示意图

二、波函数

在电子双狭缝衍射实验中确认了微观粒子具有波粒二象性，并且可以平面波来描写自由粒子，平面波的频率和波长与自由粒子的能量和动量满足德布罗意关系。

可能有小伙伴没看明白这个自由粒子是什么意思，在电子双狭缝实验中，电子从电场加速之后，整个衍射过程中不受外力的作用（重力忽略不计），所以称为自由粒子。

如果电子受到来自外部的电场或者是磁场的作用，这时这个电子的状态就不能用平面波来描写，而必须用比较复杂的波来描写。

在一般情况下，我们用一个函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数。这个波函数是一个复数。自由粒子的德布罗意平面波函数是波函数的一个特例。

电子注入镍单晶衍射实验

三、电子的波与电子之间的关系

在电子双狭缝衍射实验中，衍射现象是由波的干涉而产生的。如果波真的是由它所描写的电子组成，则电子流的衍射现象应当是由组成波的这些粒子相互作用而成。这是我在网上发现的对波函数的误解中最多的一个。

不过我们再做一个单电子双狭缝衍射实验就能澄清上面这个误解。这个实验的最后结果是：干涉现象仍旧出现。这说明，电子的波与自身干涉。即使是我们做不到单电子发射也不要紧，因为不论我们如何调整入射电流的强度，衍射图样都不发生变化，这意味着，条纹和单位体积内的电子数无关，我们同样能得到干涉现象是由波的干涉产生的，跟电子之间的相互作用无关的结论。

索尔维会议上的物理学大佬们

四、波函数的玻恩（Born）解释

再次回到电子双狭缝衍射实验中来。当我们增大单位时间内电子枪发射出来的电子流，也就是说单位时间内有很多电子被狭缝衍射，在接收屏上就很快出现干涉条纹。如果我们降低这个发射电流，甚至让电子一个一个地被双狭缝衍射，这个时候，底片上就出现一个一个的亮点，显示处电子的粒子性。

起初这些亮点的位置都是随机的，不确定的。随着时间的延长，这些亮点的数量越来越多，最后形成了衍射后的干涉条纹，显示出电子的波动性。

从前面的实验过程，我们可以得出这样的结论：实验所显示的电子波动性是许多电子在同一实验中的统计结果，或者说是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。

物理学家玻恩

波函数正是为描写粒子的这种行为而引进的。玻恩就是在这个基础上，提出来波函数的统计解释，既：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到的粒子的几率成正比。从玻恩的解释中我们可以看出，描写粒子的波是一个几率波。

现在我们根据对波函数的统计解释再来看之前的电子衍射实验。电子经过双狭缝衍射之后，照片中有许多的衍射极大和衍射极小。在衍射极大的地方，波的强度大，每个电子投射到这里的几率也大，所以投射到这里的电子多；在衍射极小的地方，波的强度很小或者等于零，电子投射到这里的几率也很小或者等于零，因此投射到这里的电子很少或者没有。

量子纠缠

五、量子态

我们从电子双狭缝衍射实验中得到了描写微观体系的波函数之后，由波函数振幅绝对值的平方，就可以得到电子在空间中任意一点出现的几率。我们用这个波函数还可以得到这个体系的各种性质，所以，我们也把用波函数描写体系的量子状态称为量子态或者简称为态。

六、叠加态原理

这部分我在以前的系列文章《五分钟量子力学（六），量子史话：诡异的量子叠加态》里面曾经详细讨论过，这里就不多说了。

总结

从本文的分析中大家可以看出，本文的公式和数值计算都与实验测量结果高度吻合，先不考虑对电子双狭缝衍射的物理过程的分析，可以认为平面波函数完全能够正确描述电子双狭缝实验测量到的结果，并且对其它同类实验具有理论指导作用。

通过对电子双狭缝衍射实验观测结果的分析中，给出了粒子的波和粒子的关系，介绍了量子力学中波函数的概念，给出了玻恩解释的实验依据，同时介绍了什么是量子态，什么是叠加态。

由于在编写过程中，老郭不小心把未完成的草稿发了出去，今天就不多写了。告一段落，免得影响各位小伙伴的阅读。

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