海韵教育丨新世纪小学数学（下册）常见问题答疑（1）

　　一年级下册︱怎样处理“开会啦”和“跳伞表演”的教学内容？

　　“开会啦”和“跳伞比赛”侧重于通过具体情境和实际操作，体会“比较两个数量的多少”可以用减法计算，丰富对减法意义的认识。

　　用减法解决问题时会涉及两种数量关系：一种是从总数中去掉部分；另一种是比较两个数量的多少。前面学生学习的减法都是从总体中去掉部分求剩余部分，也就是根据部分与整体的关系来解决减法的问题，“开会啦”是第一次学习比较意义下的减法，“跳伞表演”则是引导学生进一步体会比较两个数的多少可以用减法计算，丰富对减法意义的认识。

　　此前，学生在一年级上册学习 10 以内数的认识的时候，在“快乐的午餐”和“动物乐园”中已经积累了用一一对应的方法进行比较的经验，但那时的比较，还是建立在实物对应的基础上，是直观的观察与比较。所以，在“开会啦”和“跳伞表演”的教材设计中，也是先唤醒学生的生活经验，再借助学生已有的活动经验，把实物抽象成图形，用已学的一一对应的方法进行比较，再列式解决问题。

　　教学时，教师可以引导学生先观察情境图，说一说图中的信息，然后请同学自己提出问题。针对学生提出的问题，引导学生借助已有的用图形表示实物的经验，思考怎样摆或者画才能清楚地看出谁多、谁少，多多少或少多少，体会一一对应的比较方法。可以通过两种方法帮助学生理解：一是用一一对应的方法；二是建立与加法的联系。如“开会啦”这节课，教学时，有的学生可能说，椅子的数量比人数少4，看图就能看出来；有的学生可能说，多的减少的就是缺的。这时，教师可以请学生做模拟表演，11个学生，只有7把椅子，请7个同学每人拿1把椅子坐下，剩下4人没有椅子，当然就缺4把椅子，这样就把比多少的问题转化成了学生熟悉的“从总数中去掉部分”的数量关系的问题。在此基础上让学生列算式并计算，这个过程也可以让学生说一说算式中每个数都代表的意义，说出这样列式的理由。

　　如果有学生会说7把再添上几把就够11人坐了，因此列式“7+（　　）=11”，那么教师也要给予肯定。建立比较意义下减法的概念是需要过程的，学习初期要允许学生这样列式。随着学习的进一步深入，学生会慢慢过渡到用减法计算。

　　二年级下册︱怎样借助分物等操作活动，帮助学生理解余数以及余数与除数之间的关系？

　　教师在“有余数除法”的教学中，一定要重视分物的实际操作活动，并将操作和思考相结合。具体来说：

　　第一，通过平均分物的操作活动引入对余数的认识。

　　“搭一搭（一）”通过搭正方形的操作活动，学生会发现：13根小棒，搭了3个正方形，还剩1根。通过操作活动，学生将进一步体会除法的意义，体验到平均分的结果有两种：正好分完，不够分还有多余，从而体会学习余数的必要性，以及余数的意义。

　　第二，学生通过多次分物的操作活动，体会“余数一定要比除数小”。

　　结合操作活动，学生将体会到剩下的不够再分了，从而体会“余数一定要比除数小”。如在“搭一搭（一）”中，建议教师提问学生：“1根还能搭成正方形吗？”此外，教材安排了一个较大的探索活动，即通过用14，15，16，…，20一组连续根数的小棒搭正方形的活动，引导学生探索余数和除数的关系。在这个搭正方形的过程中，学生可以很自然地发现，有时小棒正好用完；有时小棒会有剩余，而且随着小棒总数的增加，剩余的小棒数量也会相应增加，但是增加到一定程度，这个过程突然被“中断”了，再继续下去，似乎又出现了一个“循环”。

　　第三，有余数除法竖式需要与操作活动有机结合。

　　为了帮助学生理解有余数除法竖式每一步的含义，教材设计了“分苹果”和“搭一搭（二）” 两个内容。结合分苹果的过程让学生进一步丰富并巩固对除法意义的理解，在了解竖式各部分意思的基础上学习竖式。“搭一搭（二）”则是借助用小棒搭房子的过程，理解有余数除法竖式各部分的意思。

　　有的老师可能认为操作活动是比较“低级”的，因此，总是让学生尽可能脱离操作。实际上，借助实际操作不仅仅符合小学生的认知特点；而且如果能将操作和思考有机结合的话，操作将有助于学生理解所学的内容；同时操作也是重要的解决问题的策略。

　　三年级下册︱判断轴对称时，到底是研究图形轴对称还是研究图案轴对称？

　　有教师提出这样的疑问，在判断轴对称时，是否要考虑图形内部的图案。举一个例子，如下面的交通标志，如果只看外部轮廓，无疑是轴对称的；如果考虑内部的图案，就不是轴对称了。

　　解决这个问题，教师首先需要明确的是，这类题目的目的是考查学生是否认识轴对称，能否正确进行判断，而不是考查学生对什么是图形或图案的理解。所以，不要选择这些容易产生歧义的内容。在教学或考试中，首先应向学生说明判断时是否考虑图形内部的图案，然后再鼓励学生判断。例如，对于上面的交通标志，如果考虑内部图案的话，显然不是轴对称的；如果我们只考虑外部轮廓的话，正方形和圆显然是轴对称的。

　　四年级下册︱四年级下册的“小数的认识”和三年级上册“小数的认识”的定位有什么区别？

　　对于小数的学习，第一学段主要在元、角、分的情境中，初步认识小数及其简单加减运算。通过结合购物情境学习小数，不仅突出了元、角、分等与小数的密切联系，有助于学生对小数的理解，也为以后学习小数提供了一个直观、具体的模型，积累、发展了学生的数学活动经验。第二学段继续学习小数及其运算时，教材则通过更加丰富的实例，拓展学生对小数的认识，在小数与十进分数之间建立联系。

　　本册小数的认识是在三年级“小数的初步认识”及“分数的初步认识”基础上进行的，包括“小数的意义”“测量活动”“比大小”等内容。“小数的意义”把小数的认识范围扩大，不仅几元几角几分以“元”为单位可以用小数表示，生活中很多事物都可以用小数表示。通过对这些例子的讨论，使学生体会小数与现实生活的密切联系。然后，借助直观模型使学生体会到小数与十进分数之间的关系，并通过计数器介绍小数部分的数位名称及数位的相互关系，使学生进一步理解小数的意义。

　　五年级下册︱如何在学习分数运算的过程中，丰富学生的数学体验和发展学生的思维经验？

　　在五年级下册教材中，关于分数的运算有三个单元。第一单元“分数加减法”，是在第一学段已经学过同分母分数加减法的基础上学习异分母分数的加减法。教材创设了手工课 “折纸”游戏的情境，引导学生画图（对分数面积模型的具体操作）得到一个数学事实：一张纸的1/2与这张纸的1/4合起来是这张纸的3/4，可以用算式1/2+1/4=3/4记录这个事实。对数的直观形式进行操作得到结果的过程，就是直观运算的过程。

　　进而，把直观运算的过程与结果作为反思的对象，探究如何直接从抽象的算式1/2+1/4出发算出结果是3/4呢？从而发现关键是要把1/2转化为它的等值分数2/4，即1/2+1/4=2/4+1/4，因此，异分母分数的加法就转化为同分母分数的加法了。可见，异分母分数加法的关键步骤是通分；同分母分数是分数单位相同的分数，通分的目的就是把不同分数单位的分数变成相同分数单位的分数。在这个基础上，抽象获得一般分数加法的法则就顺理成章了。同样的学习路径，也可以获得一般分数减法的方法（也可以称作“法则”）。“折纸”这节课不仅要理解和掌握分数加减法本身，还要理解从直观运算入手，到运算方法或法则获得的过程。因为这个过程也是学习分数乘法与分数除法的基本思路与途径。

　　第三单元是“分数乘法”。“分数乘法（一）”是结合具体情境学习整数乘分数的乘法运算。同样，通过直观运算（画图）得到3的1/5是3/5，即 3×1/5=3/5。反思直观运算的过程与结果，探究如何从 3×1/5出发算出结果是3/5，发现沿袭整数乘法的意义，3×1/5可以转化为3个1/5相加，根据同分母分数加法的算法进行运算，最终这个运算过程可以简缩为3×1/5=(3+1)/5=3/5。

　　同样的学习路径，可以得3/7×2=3/7+3/7=(3×2)/7=6/7。根据上述步骤抽象获得分数与整数相乘的运算方法或者法则：分子与整数相乘，分母不变。学习整数运算的时候知道，已知单位量与单位数求总量的时候用乘法；这个整数乘法的现实意义，对于分数乘法仍然适用。如上，3×1/5中1/5是单位量，3是单位数；3/7×2中3/7是单位量，2是单位数。

　　“分数乘法（二）”也是学习整数乘分数的运算，但与前面整数乘分数的区别是，单位量是整数，单位数是分数。如“6块饼干的1/2是多少块？”“6块饼干的2/3是多少块？”过直观运算（画图）不难知道答案，但难点在于是怎么算出答案的。教材还是通过画图帮助学生理解“6的1/2相当于6个1/2”“6的2/3相当于6个2/3”，从而解决了算理与算法沟通问题。因此，算式6×2/3既可以理解为6的2/3，也可以理解为6的2/3倍。所以，整数乘分数的算式虽然有两种不同的数学意义，但运算方法是相同的。从上述两节分数乘法的“问题串” 设计，还有一点相同。问题串的第一个问题是关于分数单位的乘法运算，第二个问题才是一般分数的乘法运算。突出分数单位的乘法运算，不仅仅是降低门槛，分散难点，更深层的含义是一般分数的乘法都可以转化为分数单位的乘法。如6×2/3=6×（2×1/3）=（6×2）×1/3。这一点教师必须心中有数，但未必要教给学生。

　　“分数乘法（三）”是学习分数乘分数的运算，即单位量与单位数都是分数的乘法运算。问题串的设计仍然有分数单位的乘法与一般分数的乘法两个层次。每一层次的探究也都从直观运算（画图或折纸）入手，并用算式表示直观运算的结果。进而把直观运算的过程与结果作为反思的对象，探究如何直接把抽象的数与算式作为思维对象，算出结果，从而发现运算方法或法则：两个分数相乘，只要分子乘分子作分子，分母乘分母作分母。教师也应该知道，一般分数的乘法都可以根据运算律转化为整数乘法与分数单位乘法两个部分。

　　“分数乘法”的三节课，可以看到教材一以贯之的特色：重视直观，处理好直观与抽象的关系，帮助学生理解数学，体验数学，发展运用图形或符号进行思维和表达思维的经验。

　　在第五单元“分数除法”中，学生已有整数除法的经验，知道除法是乘法的逆运算，这些经验仍然适用于分数除法。

　　“分数除法（一）”学习分数除整数的分数除法。结合具体情境，通过直观运算（折纸或画图）可以得到4/7÷3=4/7×1/3。从而，抽象获得分数除法的方法或法则：除以一个不为零的整数等于乘这个整数的倒数。

　　“分数除法（二）”一课也是结合具体情境，通过画图帮助学生理解分数除法的计算方法。并利用长方形的面积进一步解释算法，以多角度地帮助学生理解数学。其实，还可以运用商不变规律解释分数除法的法则。结合具体情境探索算法与算理，经历直观运算的过程是非常重要，不可逾越的，但也不能停留在直观运算阶段。提升思维水平与运算能力的动力是反思直观运算，在抽象的数学符号世界里发现数学知识之间的内在联系，从而把直观运算水平提高到抽象的算法水平。

　　六年级下册︱与一年级认识立体图形相比，六年级对圆柱、圆锥的认识有哪些发展？

　　对于圆柱和圆锥，学生在一年级已经能够直观辨认，在六年级继续学习圆柱和圆锥，学生将主要从以下三方面进一步加深认识和发展。

　　第一，从“静态”到“动态”，即由平面图形经过旋转形成几何体。这不仅是对几何体形成过程的学习，同时，让学生体会面和体的关系也是发展空间观念的重要途径，这也是教材将本课的题目定为“面的旋转”的原因。

　　第二，从“整体辨认”到“局部特征刻画”。学生已经认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形和长方体、正方体等立体图形，这里是基于研究长方体、正方体特征的基础上，研究圆柱和圆锥的特征。同时，对圆柱和圆锥的侧面的认识，使学生对面的认识从平面过渡到曲面，这是认识上的再一次上升。

　　第三，从观察圆柱、圆锥的实物到认识它们画在平面上的“直观图”。学生在认识直观图中可能存在着困难，教师要加以指导。