（为了书写方便，以下证明 行向量的 情况，列向量完全类似。）
设 α₁ = (a₁₁, a₁₂, ..., a₁_n), α₂ = (a₂₁, a₂₂, ..., a₂_n), ..., α_n =(a_n₁, a_n₂, ..., a_{nn}) 是 n 个 n维向量，如果那个吗线性相关，则意味着存在 α_m (1 ≤ m ≤ n) 可以被其他向量线性表示为：
α_m = k₁α₁+ k₂α₂ + ... + k_{m-1}α_{m-1} + k_{m+1}α_{m+1} + ... + k_nα_n
于是对于以 α₁ , α₂ , ..., α_n 为 行向量 组成 的 n 阶方阵：
逐次 对 A 做：”将 A 的 从 1 到 n 的 除去第 m 行外 的 第 i 行 乘以 -kᵢ 加到 第 m 行上“ 的 行初等变换，这会得到：
显然，|A'| = 0。
而 行初等变换：将 A 的 从 1 到 n 的 除去第 m 行外 的 第 i 行 乘以 -kᵢ 加到 第 m 行上，相当于 对 A 右乘 初等变换矩阵：
为什么呢？这，可以通过直接进行矩阵乘法运算验证，大家自己试一试就知道了！
于是，有：
又根据 行列式 重要性质：|AB| = |A|·|B| 以及 |Pᵢ| = 1 的事实，很方便得到：
这其实就是 初等变换不改变行列式值 的性质。
于是最终得到：
|A| = |A'| = 0
说明：以上推导均可逆，因此 n阶方阵 的 n个n维行（列）向量线性相关 当前仅当 n阶方阵 的行列式值为 0。
