马尔科夫链在概率与数列关联问题中的应用

马尔可夫链（条件概率）：

若

，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关.

等式的意义：对于一个马尔科夫链事件来说，第n+1次的状态只与第n次的状态有关，与其他次状态无关系

破题技巧：

①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性

②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列）【参考数列递推数列的特征根解法】

③利用数列递推关系求出数列的通项公式

【例1】理解“前一次事件”的所有可能性

跳格游戏：如图，人从格外只能进入第1格，在格中每次可向前跳1 格或2格，那么人从格外跳到第 8格的方法种数为

A.8种 B.13种 C、21 种 D.34种

【例2】结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列）【参考数列递推数列的特征根解法】

质点在x轴上从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为2/3， 移动两个单位的概率为1/3， 设质点运动到点(n，0)的概率为Pn.

(1) 求P₁和P₂;

(2) 求Pn.

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元. 赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光； 一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博. 记赌徒的本金为A, 赌博过程如下图的数轴所示.

当赌徒手中有n元(0≤n≤B,n∈N)日时，最终输光的概率为P(n)，请回答下列问题：

(1) 请直接写出P(0)与P(B)的数值.

(2) 证明{P(n)}是一个等差数列, 并写出公差d.

(3)当A=100时,分别计算B=200,B=1000时, P(A)的数值, 并结合实际, 解释当B→∞时, P(A)的统计含义.

【例3】【人教B版选修三第57页课后习题】甲、乙、丙、丁四人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余三个人之一，设 表示经过n次传递后球回到甲手中的概率.

(1) 求p1,p2.

(2) 用n表示出pn

【例4】【2023 新高考1卷 T21】甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8. 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1) 求第2次投篮的人是乙的概率；

(2) 求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量X；服从两点分布，且

则

记前n次(即从第1次到第n次投篮) 中甲投篮的次数为Y，求E(Y)

【例5】【天域全国名校协作体T12】如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点 ABCD 之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为 ，跳向不相邻顶点的概率为. 若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为 ，则下列结论中正确的是 ( )

A. 青蛙跳跃2次后位于 B点的概率为1/4

B、数列

是等比数列

C. 青蛙跳动奇数次后只能位于点 A的概率始终小于1/4

D. 存在整数n,使得青蛙跳动n次后位于C点和D点的概率相等