前文连载论述了解析几何产生与完善促进数学发展的一些具体过程，这里再向前追溯，一方面来看看解析几何直角坐标系的优势和面临的数学问题；另一方面，来看看另外一些相关分支的发展。

直角，古人特殊的关注与发明

当古人意识到将平面四分（东南西北）或者有矩的概念的时候，就已经产生了直角的概念。直角的优势在于使用上的简洁（与数理中代数的4对应）与可视化相对一致的结果（二维平面完全一致，三维欧氏几何近似，因为人的视觉有透视感）。

特别是当勾股定理产生以后，勾股定理成为代数与几何统一的一个特殊途径。

再与一年365天以及古人的60循环的数理一统中，形成了数学的圆周360度的概念。

基于这样的基本定义，成为未来的解析几何的直角坐标系产生的基础。尽管解析几何没有在中国古代产生，但是数学上与中国古代数学兼容，原因就在于这些基本定义以及数理兼容的思路是一致的。在欧氏几何中，这些内容可以互换表达。

直角坐标系的优势

直角坐标系促进了解析几何的产生与发展，在数学应用性上实现了代数与几何的互换表达。（有两个死穴：一是几何意义的点不能较真形状，仅仅是代数意义的表达；二是四维及以上维度的（0,0)和（0+0i)假设是一个点。这是虚数直角坐标系的问题。以前的文章已经论述。）

在上世纪初开始，数学家开始利用几何方法解决一些代数、函数问题。

在决定性系统的，在拟合数学应用、统计分析过程中，直角坐标系会表现出一种直观的可视化结果，这促进了数学拟合的效率。

直角坐标系的分形数学本质

为什么直角坐标系促成了解析几何的完善呢？

这个问题，数学史中并未讨论。现在有了分形数学，笔者发现，直角坐标系实际就是一个特定的跨维度的分形体系，它的分形吸引子就是勾股定理。这种跨维度的分形即便现在也依然研究很少，分行研究通常局限于同一维度。

利用勾股定理计算的斜边可以对一维到三维进行有效的、唯一性的跨维表达。三维到四维时空进行有效的、为二性的表达。四维时空通常会有两个降维解，这是引入虚数造成的结果。四维以上的跨维分形，笔者认为陷入混沌体系。

（本段是笔者的思考，并未见相关表达的数学材料。）

直角坐标系的局限性

上世纪七十年代开始，产生的分形数学、混沌数学分支，揭示了另外一种数学拟合系统的普遍性存在，也就是非决定性系统。在非决定性系统中，使用直角坐标系，其直观可视化的应用意义不复存在。在这种系统中，直角坐标系中的点，仅仅是对数据的描述，并不能体现出其数学规律性或者规律的唯一性预测结果。

尽管对分形的研究从古人就已经开始了，例如笔者在前文连载中提到的伏羲八卦的分形。

国学溯源之旅—分形数学理论在中国应该称为伏羲分形理论更准确些

但是定量、函数性质表达的现代分形数学随着计算机的发展，变得更定量化了。分形系统，部分是决定性系统，部分是非决定性系统，这一点以后再讨论。

一些现代的拟合数学方法，由于忽视了非决定性系统的存在，片面强调了决定性的拟合，会造成预测结果的错误。

也就是在你搞定一些数据的线性拟合函数之后，现在利用大数据分析方式，这通常会很简单。但是这个拟合结果是否有预测意义，这个决定性不在于数学拟合的方法或者函数，而在于你所要拟合的系统到底是决定性系统还是非决定性系统。

对于决定性系统，拟合函数在接受可容忍的误差前提下，会具有一定的唯一性预测意义。但对于非决定性系统，这个函数没有唯一性的预测意义，可能是概率性的预测意义或者无预测意义。

这就是拟合函数在预测使用中必须验证的原因。这也是物理假说搞出来那么多数学模型，都在等待验证的原因。因为我们并不清楚我们所要拟合的系统到底是决定性的还是非决定性的，或者是局部有决定性，局部有非决定性等等。

霍金所说的上帝掷色子，而且甚至不知道色子扔到哪里去了，实际就是对总时空级别可能是非决定性系统的一种思考。当然，无论爱因斯坦认为上帝是否掷色子？还是霍金认为的，现代物理的观察结果并不能证实总时空这个级别的决定性或者非决定性，因为我们能够观察的范围至今依然是总时空之内有限的范围，需要堤防盲人摸象的问题。

笔者观点：奇点、黑洞内部是非决定性的混沌系统，趋近量子理论；期间的时空是非决定性的分形系统，相对论仅仅是这部分的分形吸引子函数；总时空极远（总时空引力场之外）是随机性的。当然，以上观点现在物理方法也并不能直接验证，又多一个假说而已。

直角坐标系遇到的麻烦

多维、多因素影响，就是直角坐标系遇到的麻烦。当然，这个多现在是大于4。

至今三个并不兼容的系统四维时空（物理应用）、四维空间（数理表达）、四维超体（数学分支），很多人依然分不清楚，而可视化的几何表达通常并不尽意，搞清楚四维的不同已经会淘汰很多学习者。至于五维及以上，就更乱套了。所谓的物理假说中的多维有的甚至在与数理玄学勾搭，分清已然不易了。

超体几何的抽象性已经让很多人难以简单接受，而且，由于其非欧数学的这种血缘，改变了欧氏几何的基本定义，兼容表达了直线与线段，因此其数学应用意义，至今并未显现。

面对多维或者多因素影响系统，依然采用直线（线段）加上直角坐标系的组合并不是很好的简化方便的选择，所以使用直角坐标系加上波的这种多维思考现在占据优势。这也是非欧类数学了。这方面特斯拉的贡献较大，可惜真实资料有限了。

直角坐标系之外的坐标系

与解析几何使用的直角坐标系基本同期产生的还有夹角坐标系、极坐标系。再之后还有球坐标系、雷达坐标系等。

极坐标系促进了虚数i的数学应用，也促进了波的应用。

夹角坐标系由于在代数、几何的互换上的不方便性以及不够直观（可视化感），在数学应用上通常较少采用。

但随着波的应用的增加，以及多要素（多维度）思考的增加，在多因素影响的同源系统中，通常会遇到使用波以及夹角坐标系。这样考虑多维因素会相对简单一些。但是，即便使用波，超过四维的使用，也要考虑如果是混沌系统的拟合会出现的问题。

另外一种应用就是限制于二维平面的雷达图的应用。（雷达图的数学问题笔者在前文中讨论过，如下。）这涉及三个数学问题：

一、如果哪怕有一个因素不是同数学性质的，这个系统可能是混沌系统或者说是非决定性系统。

二、如果哪怕有一个因素是超出二维平面的影响，那么整个系统的数学结果是粗略的；

三、如果哪怕有一个因素是虚数性质的，这个二维系统可能没有唯一性的切实意义。

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如何正确使用雷达图，需要注意以上三个数学问题。seo系统在需要决定性判断的时候出现的混沌问题，实际是由于雷达图的错误数学应用造成的。